Illustratie voorbij het Bewijs

In januari kwam een groep wiskundigen, historici, kunstenaars en educatoren samen bij het Institut Henri Poincaré (IHP) voor een ongebruikelijke workshop over wiskundige betekenis. Ons focuspunt voor die week, als onderdeel van een speciaal trimester over het gebruik van illustraties in wiskundig onderzoek, was de vraag: wat zou het betekenen voor een illustratie om rigoureus te zijn [1]? We hadden niet voorzien hoe urgent de omliggende cluster van vragen over de definities van de menselijke wiskundige praktijk zes maanden later zou aanvoelen.

Onze discussies leidden tot een artikel, geschreven tijdens de zomer in het kader van de Leidense Declaratie [2], dat inmiddels is geaccepteerd in de Notices [3]. De afgelopen maanden is er een hartelijke stroom aan standpunten ontstaan over wat het betekent om als mens wiskunde te bedrijven, en wat dit in de nabije toekomst zal betekenen. Uit de gepassioneerde discussies blijkt dat het zijn van een wiskundige veel verschillende en belangrijke betekenissen heeft. Wiskundige illustratie — waaronder computergraphics en andere media die onze zintuigen aanspreken buiten symbolische communicatie om — is een van de activiteiten van een menselijke wiskundige die verder gaat dan het schrijven van bewijzen. De worstelingen van illustratie als discipline kunnen wellicht inzicht bieden in de richting waarin de wiskunde zich kan bewegen.

De huidige staat van de wiskundige praktijk

We beginnen met een overzicht van de huidige situatie. Bryna Kra [4] beschrijft de kern van het huidige probleem: gedurende vele jaren is de productie van stellingen de belangrijkste maatstaf voor succes geworden. Functies en prijzen hangen hieraan vast. Maar dit is altijd een proxy geweest voor iets dat moeilijker te meten is: begrip. Diepzinnige stellingen waren schaars en moeilijk, waardoor ze betrouwbaar wijzen op diepgaand denken. AI heeft die schaarste doorbroken. Voor Kra is een bewijs "een verhaal, een beeld, een inzicht, een uitleg."

Silvia De Toffoli en Eamon Duede [5] verscherpen dit perspectief door het idee te verwerpen dat wiskunde een spel is dat machines nu kunnen winnen. Het doel van wiskunde is niet simpelweg een verifieerbare oplossing. Wiskunde is "een lichaam van kennis waar een wetenschappelijke gemeenschap mee bezig is, dat wordt geïnterpreteerd en verteerd", en niet een register van resultaten. Matilde Marcolli [6] gaat verder: de grote stellingen waren nooit het hoofdpunt, maar slechts een waardesysteem dat de gemeenschap heeft gekozen, en keuzes kunnen opnieuw worden gemaakt. Grant Sanderson [7] vraagt wat dit in de praktijk betekent: hoe geven we echte erkenning aan de andere vormen die wiskundig werk en begrip aannemen?

Historische context: Tekenen als weten

Andere vormen van weten zijn in het verleden reeds erkend. Ons paper begint met het handtekenen dat vereist was in de wiskundige opleiding aan Gaspard Monges École Polytechnique in de negentiende eeuw. Tijdens de workshop in januari maakte historicus Frédéric Brechenmacher dit expliciet: "Tekenen was weten" [8]. We volgen hoe die traditie in de twintigste eeuw terzijde werd geschoven, maar desondanks bleef voortbestaan. Dit kwam onder meer naar voren in een recenter debat over de relatie tussen bewijs en betekenis in de wiskunde in de jaren 90.

Destijds reageerden veel wiskundigen op een invloedrijk artikel van Arthur Jaffe en Frank Quinn [9], waarvan de reactie van Bill Thurston het meest beroemd is. In zijn veel geciteerde tekst "On Proof and Progress in Mathematics" [10] verdedigde hij zijn werk tegen de kritiek van Jaffe en Quinn. Ook andere reacties uit die tijd zijn het lezen waard [11]. De Philosophy of Mathematical Practice [12], het vakgebied van De Toffoli en Duede, bestudeert deze vragen systematisch binnen de gemeenschap.

De gemeenschap van 'Illustrating Mathematics'

De Illustrating Mathematics-gemeenschap is voortgekomen uit deze traditie van tekenen en het maken van wiskundige objecten. Deze vormde zich tijdens een semester bij ICERM in 2019 en organiseerde dit jaar het IHP-trimester [13]. De gemeenschap brengt wiskundigen samen die actief beelden, modellen, software en wiskundige ervaringen ontwikkelen. Een specifiek focuspunt is de rol van illustratie als onderzoeksmethode: het verkennen van wiskunde, niet alleen het uitleggen ervan. Net zoals een goed bewijs meer laat zien dan alleen het resultaat, doet een goede illustratie veel meer dan alleen een vorm of patroon demonstreren.

Ons eigen werk in algebraic starscapes [14] is hier een bescheiden voorbeeld van. De beelden tonen een complexe structuur in de complexe wortels van rationele kubische polynomen. Toen we shaders gingen gebruiken om het beeld te tekenen, veranderde een naïeve eerste versie van de code cirkels in ellipsen. We realiseerden ons echter dat deze onbedoelde vervorming juist een extra dimensie van betekenisvolle structuur onthulde. Deze beelden tonen wiskunde die nog niet was verkend, in plaats van uit te leggen wat al bekend was.

AI en de risico's van 'vibecoding'

Natuurlijk kunnen zowel bewijs als illustratie misleiden, zeker in onderzoek. De mogelijkheden van LLM's (Large Language Models) hebben een prijs. In het geval van illustratie maakt hun vermogen om code te genereren illustratie toegankelijker dan ooit. Maar door vibecoding staan we nu twee stappen verwijderd van kennis: zelfs het creatie-algoritme zelf wordt mogelijk niet meer begrepen.

Bij bewijzen staat dit probleem van "vertering" nu centraal. Onlangs vond GPT-6 Astra, naar aanleiding van een suggestie van Ioannis Tsiokos [15], de Chair44: de eerste driedimensionale aperiodieke monotegel. Tsiokos deelde een artikel van 61 pagina's [16]. Hij geeft aan dat hij het intuïtieve geometrische argument begreep, maar niet de wiskunde. Chaim Goodman-Strauss distilleerde het argument vervolgens tot acht pagina's [17], opgebouwd rond een diagram van overeenkomstige pijlen die de supertegelstructuur zichtbaar maakt, waarmee een klassiek hiërarchisch bewijs van aperiodiciteit werd geleverd. De illustratie van de vorm zelf (in het artikel van Tsiokos) was een cruciale aanwijzing om het kernidee te onthullen.

Wat maakt een illustratie rigoureus?

Hoe kan een illustratie rigoureus zijn in het licht van deze problemen? In ons paper putten we uit het verslag van Valeria Giardino over representaties als instrumenten voor het denken (Endeavour 42, 2018) [18], waarin zij kijkt naar de affordances van een illustratie: de interpretaties, manipulaties en gevolgtrekkingen die de figuur uitlokt.

We zouden kunnen kiezen voor een sterkere definitie van affordances: de eigenschappen van de illustratie die door een bewijs als accuraat worden gecertificeerd. Omgekeerd kunnen bewijzen aantonen dat een schijnbare eigenschap geen affordance is. Zo leken vroege beelden van de Mandelbrot-set aan te geven dat deze niet samenhangend was [19], maar in een gepixelde afbeelding kan een kenmerk dat dunner is dan de stap tussen pixels over het hoofd worden gezien [20]. Eigenschappen zoals het aantal bollen van een bepaalde grootte naast de hoofdcardioïde kunnen daarentegen wel correct worden bewezen, mits de pixelgrootte in verhouding klein genoeg is.

Leren door te maken: Lessen uit de kunst

Als we de accuratesse van een beeld hebben geadresseerd, blijft de vraag over de betrokkenheid of het vermogen om inzichten te onthullen. Dit zijn vragen zonder eenvoudige antwoorden, maar ze zijn niet onbelangrijk. Dit zijn ook de vragen die de academische kunst stelt aan het werk van studenten, en de kunst heeft een beproefde methode: de "crit".

Tijdens de workshop hielp Jean Schmitt, professor in de kunstfundamenten, ons bij het opzetten van een crit-raamwerk. Een crit is een discussie over een werk, vaak gepresenteerd met minimale inleiding, om te onthullen hoe het wordt ontvangen door het publiek. Wat zijn de overeenkomsten en verschillen tussen die receptie en de intentie van de maker? Dit gaf een formelere structuur aan de informele gesprekken die we al voerden en plaatste de discussies in een gemeenschappelijke ruimte. De crit vertoont gelijkenissen met de stijl van Gelfands seminar in Moskou.

Het praatje van Schmitt [21] was gebaseerd op het idee van Tim Ingold over thinking through making (Making, Routledge, 2013) [22], waarbij vorm en begrip ontstaan via het proces en in samenwerking met de beschikbare instrumenten en materialen. Op dezelfde manier werd er van Monges studenten verwacht dat ze leerden door het proces van tekenen, niet door het observeren van tekeningen van anderen. Waarde en begrip komen vaak net zoveel voort uit de inspanning van creatie — of het nu gaat om illustratie of bewijs — als uit het bekijken van wat anderen hebben gemaakt.

Conclusie: Naar een bredere waardering

Deze ideeën uit de kunst maken expliciet wat altijd impliciet aanwezig is geweest in de wiskundige gemeenschap. Wiskundige zijn gaat evenzeer over het zijn van een enthousiast publiek voor het werk van anderen als over het presenteren of creëren van eigen onderzoek. Als gemeenschap waarderen we esthetiek, elegantie en inzicht. De overmatige nadruk op publicaties en voorheen onbewezen resultaten heeft deze bredere waarden overschaduwd, maar er is altijd gewerkt aan manieren om deze waarden erkenning te geven.

De infrastructuur om deze bredere waarden te ondersteunen groeit. Het Geometry Labs United-netwerk [23] brengt groepen van verschillende universiteiten samen waar studenten en docenten wiskunde verkennen als onderzoek, experiment en visualisatie. Dit biedt een natuurlijke ruimte voor leren door het maken van bewijzen, experimenten, uiteenzettingen en illustraties. In veel gevallen kan het bewijs contextueler zijn, door de affordances van een specifiek experiment of een specifieke illustratie te bewijzen. Leren door te maken sluit ook aan bij werk in het wiskundeonderwijs. In de laatste presentatie van onze workshop liet Hortensia Soto zien hoe werken met fysieke materialen de acties, percepties en sensaties van lerenden ondersteunt op weg naar begrip [24].

Het beantwoorden van de oproep van Sanderson om zaken buiten het bewijs om te erkennen, bestaat voor een groot deel uit het herkennen en uitbouwen van het werk dat al is gedaan. Dit gebeurt in de gemeenschap van Illustrating Mathematics, maar ook in de Philosophy of Mathematical Practice, in Geometry Labs en op vele andere plekken. Inzichten worden gevonden door verbindingen te leggen met wiskundeonderwijs, outreach en zelfs kunst. Het werk gebeurt al; wat het nodig heeft, zoals Sanderson betoogt, is ondersteuning. Hiermee kunnen we bereiken wat Bryna Kra beschrijft: een wiskunde die blijft "ons vermogen om te redeneren vergroot en onze geest opent voor nieuwe manieren van begrijpen" [4].

***

Referenties

[1] Rigorous Illustrations: Their Creation and Evaluation for Mathematical Research, workshop (2026 T1 WS1), Institut Henri Poincaré, januari 2026. Programme and talks: https://indico.math.cnrs.fr/event/13124/

[2] Jarod Alper, et al., Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics, 2026. https://doi.org/10.5281/zenodo.20302944

[3] Edmund Harriss and Katherine E. Stange, Mathematical Illustration: Proof, Intuition and AI, Notices of the American Mathematical Society, verschijning volgt. https://arxiv.org/abs/2610.02655

[4] Bryna Kra, gastbijdrage, What’s new, 13 september 2026. https://terrytao.wordpress.com/2026/09/13/deep-theorems-were-scarce-and-difficult-and-so-became-an-effective-mechanism-to-identify-deep-thought-ai-has-broken-this-system/

[5] Silvia De Toffoli and Eamon Duede, gastbijdrage, What’s new, 12 september 2026. https://terrytao.wordpress.com/2026/09/12/after-math/

[6] Matilde Marcolli, essay over AI en wiskunde, 2026. https://www.its.caltech.edu/~matilde/AImathNew.pdf

[7] Grant Sanderson, gastbijdrage, What’s new, 18 september 2026. https://terrytao.wordpress.com/2026/09/18/if-math-is-more-than-proof-we-need-to-better-celebrate-the-rest-of-it/

[8] Frédéric Brechenmacher, The flat and the relief: Geometric material models in 19th century France, presentatie bij [1], 2026. https://dx.doi.org/10.57987/IHP.2026.T1.WS1.007

[9] Arthur Jaffe and Frank Quinn, ‘Theoretical mathematics’: Toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society 29 (1993), 1–13.

[10] William P. Thurston, On proof and progress in mathematics, Bulletin of the American Mathematical Society 30 (1994), 161–177.

[11] Michael Atiyah, et al., Responses to ‘Theoretical Mathematics: Toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics,’ by A. Jaffe and F. Quinn, Bulletin of the American Mathematical Society 30 (1994), 178–207.

[12] Silvia De Toffoli and Paolo Mancosu, The philosophy of mathematical practice, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2026.

[13] Rémi Coulon, et al., On the importance of illustration for mathematical research, Notices of the American Mathematical Society 71 (2024), no. 1, 105–115.

[14] Edmund Harriss, Katherine E. Stange, and Steve Trettel, Algebraic number starscapes, Experimental Mathematics (2022).

[15] Konstantin Kakaes, Software developer finds first 3D “einstein” tile, Quanta Magazine, 23 september 2026. https://www.quantamagazine.org/update/167384/

[16] Ioannis Tsiokos, Chair44 paper, arXiv:2609.19214, 2026. https://arxiv.org/abs/2609.19214

[17] Chaim Goodman-Strauss, paper on the Chair44 tile, arXiv:2609.24779, 2026. https://arxiv.org/abs/2609.24779

[18] Valeria Giardino, Tools for thought: The case of mathematics, Endeavour 42 (2018), no. 2–3, 172–179.

[19] Benoit B. Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of z ↦ λz(1 – z) for complex λ and z, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980), 249–259.

[20] Adrien Douady and John H. Hubbard, Itération des polynômes quadratiques complexes, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I Mathématique 294 (1982), 123–126.

[21] Jean Schmitt, presentatie bij [1], 2026. https://indico.math.cnrs.fr/event/13124/contributions/14965/

[22] Tim Ingold, Making: Anthropology, Archaeology, Art and Architecture, Routledge, 2013.

[23] Jayadev Athreya, et al., Geometry labs united: An invitation, Notices of the American Mathematical Society 65 (2018), no. 9, 1088–1093.

[24] Hortensia Soto, Rigorous and flexible illustrations: Inviting realms of possibilities, presentatie bij [1], 2026. https://dx.doi.org/10.57987/IHP.2026.T1.WS1.017