Wat is de toekomst voor onderzoek naar zuivere wiskunde in het tijdperk van AI?

Koppen en geschiedenis

De koppen verschijnen voortdurend: zo'n en ander AI-systeem heeft zo'n en ander wiskundig probleem opgelost. En steeds vaker hoor ik mensen zeggen: misschien hebben we geen mensen meer nodig die wiskundig onderzoek doen; misschien moeten we dat allemaal delegeren aan steeds krachtigere AI-systemen.

Ik moet toegeven dat ik een beetje ongeduldig word van sommige van de dingen die worden gezegd. Het lijkt me namelijk dat er te vaak sprake is van fundamentele misverstanden over waar wiskunde werkelijk over gaat — en eerlijk gezegd, waar AI over gaat.

Misschien is er een uniek stukje persoonlijke geschiedenis dat mij dit inzicht geeft. Toen we in 1988 Mathematica introduceerden, was er namelijk ook sprake van hetzelfde soort praat: dat wiskunde zou worden overgenomen en daardoor zinloos zou worden. Natuurlijk is dat helemaal niet zo gelopen. In plaats daarvan heeft Mathematica (nu Wolfram Language) het niveau van de wiskunde dat kan worden uitgevoerd verhoogd — en heeft dit in de loop der jaren geleid tot allerlei belangrijke nieuwe wiskunde.

Als men denkt dat het oplossen van symbolische integralen de kern is van wat wiskunde inhoudt, dan heeft Mathematica dat inderdaad in wezen vervangen. Maar hoewel dat soort probleemoplossing nodig is in veel toepassingen van wiskunde, is het niet de kern van wat wiskunde zelf, in haar zuivere vorm, inhoudt.

De onderneming van de zuivere wiskunde is oud en nauw verweven met de geschiedenis van de beschaving. Vanaf de tijd van Plato en Euclides was de zuivere wiskunde het bepalende voorbeeld van een plek waar abstract, rationeel denken een steeds grotere structuur kon bouwen. In de loop der eeuwen is de zuivere wiskunde het grootste intellectuele bouwwerk geworden dat onze beschaving heeft opgericht.

Het is niet zonder pathologieën en beperkingen geweest. Zelfs onder degenen die aan het bouwwerk werken, ontstaan misverstanden over wat belangrijk is en hoe dingen gedaan zouden moeten worden. Gaat wiskunde fundamenteel over het produceren van bewijzen, met welke middelen dan ook? Wordt wiskunde uiteindelijk altijd gerechtvaardigd door haar toepassingen? Is er een onvermijdelijk "boek met juiste antwoorden" dat de wiskunde probeert te ontdekken?

Ook hier speelt mijn persoonlijke geschiedenis een rol. Mijn inspanningen in de basiswetenschap hebben ertoe geleid dat ik vragen ben gaan stellen over de fundamenten van veel zaken, waaronder wiskunde. Zo heb ik onderzoek gedaan naar de ruimte van alle mogelijke wiskundes, wat de beperkende structuur van het netwerk van alle stellingen zou kunnen zijn, en met name, wat de rol van mensen is bij het definiëren van datgene wat we wiskunde noemen.

De waarde van moderne AI

Laten we later spreken over het algemene karakter en de waarde van zuivere wiskunde. Maar eerst behandelen we het actuele vraagstuk: de rol van moderne AI.

Het eerste dat gezegd moet worden is dat AI ongetwijfeld nuttig is, soms zeer nuttig. Voor mij is het grootste nut in wiskundige zin de bekwaamheid om in feite de kennisbank van de menselijke wiskunde thematisch te doorzoeken. Al vanaf de jaren zeventig was het kunnen uitvoeren van trefwoordzoekopdrachten in de wetenschappelijke literatuur een cruciale katalysator voor veel van het onderzoek dat ik deed. Met moderne AI kan men nu veel meer. Want ergens binnen die LLM's (Large Language Models) — op een manier die we wetenschappelijk nog niet begrijpen — bevindt zich een representatie van ruwe ideeën, afgeleid uit miljoenen papers en boeken over wiskunde.

En op zijn best gaat het niet alleen om het ophalen van informatie. Het gaat ook om het leggen van verbanden. Het vermogen om te zien dat dit resultaat hier gecombineerd kan worden met dat resultaat daar om tot een verrassende en nuttige conclusie te komen. Mensen doen dat routinematig ook. Maar zij hebben meestal slechts honderden papers gelezen; AI-systemen hebben er effectief miljoenen gelezen, en het is voor hen goedkoop om talloze mogelijke combinaties uit te proberen.

Kan men er dan van uitgaan dat je een AI simpelweg lanceert en deze terugkomt met geweldige wiskunde? Zoals we zullen bespreken, wordt geweldige wiskunde — meer dan alles — gedefinieerd door de vragen die worden gesteld. Ja, AI kan zaken succesvol automatiseren die mensen normaal gesproken zelf hadden moeten doen. Maar in de kern van de zuivere wiskunde staat de menselijke verbeelding die bepaalt welke vragen gesteld moeten worden.

Het is waardevol om het verschil te begrijpen tussen wat moderne AI doet en wat pure berekening (computation) doet. Moderne AI is in de eerste plaats een manier om gebruik te maken van het bestaande corpus van menselijke kennis. Berekening is — op haar krachtigst — een open-ended manier om zaken te genereren die fundamenteel en onherleidbaar nieuw zijn. Start bij een bepaalde regel of axioma, en voer herhaaldelijk de berekening uit van het toepassen ervan; mijn favoriete fenomeen van computationele irreducibiliteit garandeert dat je steeds verse, nieuwe resultaten zult krijgen die niet bereikt kunnen worden behalve door al die berekeningsstappen uit te voeren.

(Voor wie hier niet bekend mee is: computationele irreducibiliteit is een idee dat ik in de jaren tachtig introduceerde om het concept te vatten dat veel computationele processen — zelfs als ze gedefinieerd zijn door eenvoudige regels — geen algemene kortere weg toestaan: de enige manier om de uitkomst te bepalen is door elke stap expliciet uit te voeren. Dit blijkt een fenomeen te zijn dat alomtegenwoordig is in het computationele universum van mogelijke programma's — en verbonden is met een lange reeks fundamentele kwesties in vele gebieden van de wetenschap, alsook in de filosofie, etc.)

Dus ja, los van AI kan berekening een oneindige reeks nieuwe stellingen genereren, wat een oneindige reeks nieuwe feiten representeert, etc. En binnen die stellingen zal er allerlei "originaliteit" en in feite "verrassing" zijn. Maar er is een addertje onder het gras. Die stellingen zijn in zekere zin gewoon "resultaten geplukt uit het computationele universum". Als zodanig vallen ze zeker onder het domein van het nieuwe — en naar mijn mening zeer belangrijke — veld van de ruliologie, waar ik veel energie in heb gestoken. Maar zijn ze wiskunde?

Wat is wiskunde eigenlijk?

Dat hangt natuurlijk af van wat wiskunde werkelijk is — en dat is precies wat we moeten begrijpen. In de vroege geschiedenis werd wiskunde gezien als een manier om precieze en formele uitspraken te doen over de wereld, bijvoorbeeld over rekenkunde of meetkunde. Maar tegen het einde van de negentiende eeuw waren hogere niveaus van abstractie bereikt, die niet langer verbonden waren aan kenmerken van de wereld zoals we die ervaren. In de wiskunde verscheidde een toenemend formalistische visie: dat wiskunde uiteindelijk gewoon de verzameling stellingen is die "mechanisch" (d.w.z. computationeel) afgeleid kunnen worden uit bepaalde axioma's, zoals de axioma's van de verzamelingenleer.

De stelling van Gödel bracht een kleine kras in dat beeld. Maar zelfs vandaag de dag zullen veel wiskundigen, als ze onder druk worden gezet, wiskunde proberen te definiëren als de formele studie van de gevolgen van bepaalde gekozen axioma's. Hoewel ze dat misschien zeggen, is het geen goede beschrijving van wat ze daadwerkelijk doen. De overgrote meerderheid van het actuele onderzoek naar zuivere wiskunde opereert niet op het niveau van axioma's en mechanische afleidingen. In plaats daarvan werkt het op een veel hoger niveau, door abstracte structuren en hun onderlinge relaties te bouwen en te bestuderen.

Het is niet voor de hand liggend dat dit mogelijk zou moeten zijn. Het zou kunnen dat de enige manier om juiste antwoorden in de wiskunde te krijgen, is door te opereren op het laagste niveau, bijvoorbeeld direct in termen van axioma's. Maar het is een essentieel — zij het meestal onuitgesproken — kenmerk van zuivere wiskunde dat men in de praktijk kan redeneren op het niveau van, zeg, de stelling van Pythagoras, zonder constant terug te moeten duiken naar de axiomatische definitie van reële getallen. Ik heb onlangs betoogd dat dit om grotendeels dezelfde redenen gebeurt als dat we in de natuurkunde succesvol vloeistofmechanica kunnen bedrijven, zonder altijd de botsingen van individuele moleculen te hoeven volgen.

Uiteindelijk bestaat de vloeistof uit al die moleculen. Maar het punt is dat waarnemers zoals wij deze doorgaans alleen bemonsteren op het veel menselijkere niveau van algemene vloeistofbewegingen, etc. En zo is het ook met de wiskunde. Menselijke wiskundigen bemonsteren het enorme metawiskundige web van onderliggende axiomatische afleidingen doorgaans alleen op globale, collectieve manieren, in termen van "menselijke" structuren en concepten.

Uiteindelijk lijkt het verhaal in de wiskunde en in de natuurkunde zeer gelijkaardig. Op het laagste niveau is alles vol computationele irreducibiliteit, zodat men zaken alleen kan doorgronden door mechanisch elke berekeningsstap te nemen. Maar binnen die computationele irreducibiliteit zijn er altijd zakken van computationele reduceerbaarheid waar het mogelijk is om op een "hoger-niveau" vooruit te springen. En binnen deze zakken van reduceerbaarheid bevinden zich onze natuurkundige wetten — en onze menselijke wiskunde.

We kunnen de natuurkunde — of inderdaad de natuurwetenschap in het algemeen — zien als een poging om de complexiteiten van de natuurlijke wereld te nemen en aspecten te vinden die beschreven kunnen worden door narratieven die passen in eindige menselijke geesten. Wiskunde kan op een zeer vergelijkbare manier worden gezien: als een poging om de complexiteiten van de metawiskundige wereld te nemen en aspecten te vinden die beschreven kunnen worden door narratieven — nu wiskundige narratieven — die passen in eindige menselijke geesten.

Met andere woorden: het probleem van het vooruithelpen van de zuivere wiskunde gaat op een zeker niveau niet zozeer over het terugdringen van een rauwe metawiskundige grens, maar over het vinden van menselijke manieren om te representeren wat daar aanwezig is.

De geschiedenis van de menselijke wiskunde is gekenmerkt door het bouwen van steeds hogere torens van concepten — die een steeds grotere abstractie vatten. Men zou kunnen veronderstellen dat dit proces aan het eind onvermijdelijk "alle wiskunde zou onthullen". Maar het verhaal is complexer. Men kan zich voorstellen dat men als ultieme limiet zou kunnen beginnen bij alle mogelijke axiomasystemen en alle mogelijke stellingen zou genereren. Wat men zo krijgt, is een uniek object dat ik de ruliad noem — dat correspondeert met de verstrengelde limiet van alle mogelijke computationele processen. Maar het probleem is dat eindige geesten — zoals die van ons — slechts een fractie van de ruliad kunnen waarnemen. En dat betekent dat we geen "absolute wiskunde" kunnen hebben, alleen wiskunde gebaseerd op hoe we de ruliad bemonsteren.

Ik heb elders betoogd dat sommige aspecten van deze bemonstering onvermijdelijk voortvloeien uit algemene kenmerken van de manier waarop wij als waarnemers van de ruliad zijn. Dit leidt tot bepaalde "algemene wetten van de wiskunde", zoals het feit dat wiskunde op hoger niveau mogelijk is — althans voor waarnemers zoals wij. Andere aspecten van de bemonstering kunnen we echter zien als historische toevalligheden: keuzes die de wiskundige gemeenschap maakte om de ene richting te verkennen in plaats van de andere. En wederom is het belangrijk om te erkennen dat het onvermijdelijk is dat men dergelijke keuzes moet maken.

In zekere zin is de ruliad te groot om anders te kunnen: onze eindige geesten kunnen niet alle richtingen bestrijken, dus moeten we er slechts enkele kiezen. Daarna moeten we samenvatten wat we vinden in termen van een beperkte set concepten — waaruit we vervolgens onze wiskundige narratieven kunnen bouwen.

Het lijkt erg op de menselijke taal. Uit alle mogelijkheden kiezen we bepaalde concepten om te representeren, bijvoorbeeld door woorden. Deze concepten zijn de manier waarop we "gedachten inkapselen" om ze op eindige wijze te kunnen communiceren en in ons hoofd te kunnen passen.

Op een rauw computationeel niveau is het eenvoudig om te doen wat neerkomt op wiskundige ruliologie en axiomatisch enorme aantallen nieuwe stellingen te genereren die nog nooit eerder zijn gezien. Maar met overweldigende waarschijnlijkheid zal dit ons alleen leiden naar "aliene wiskunde" die niet nuttig aansluit bij de wiskunde zoals wij die kennen — of, voor die tijd, bij iets dat we überhaupt als een hoger-niveau concept kunnen beschouwen.

Wiskunde genereren met AI

Maar goed, stel dat we moderne AI gebruiken. Kan deze niet direct opereren met wiskundige concepten van een hoger niveau? LLM's slagen er zeker in om met menselijke taal om te gaan. En inderdaad, net zoals LLM's succesvol de algemene patronen leren voor het samenvoegen van woorden in menselijke taal, kunnen ze ook de algemene patronen leren voor het samenvoegen van constructen in de wiskunde.

Maar het genereren van nuttige wiskunde is een veel veeleisender activiteit dan het genereren van taal. Een geschreven verhaal kan niet echt "fout" zijn; een geschreven stuk wiskunde kan dat zeker zijn. Natuurlijk helpt het enorm wanneer de LLM een beroep kan doen op Wolfram Language — zoals mensen doen — om dingen betrouwbaar te berekenen. (En ja, iedereen zou de paar seconden moeten nemen die nodig zijn om hun AI's te verbinden met ons Wolfram MCP-systeem!) Maar een serieus stuk wiskundig onderzoek houdt doorgaans in dat vele delen op elkaar worden aangesloten, dat veel stappen in een argument worden doorlopen, etc. En het probleem is dat de fundamenteel statistische aard van hoe een LLM werkt, onvermijdelijk ervoor zorgt dat de kans steeds kleiner wordt dat zaken correct uitpakken naarmate ze gecompliceerder worden. Het kan bijna een spelletje worden om gevallen te vinden waarin de LLM toevallig het juiste doet.

Maar hoe kun je dat überhaupt weten? Het is een frustrerend kenmerk van de moderne tijd dat iemand als ik elke dag veel AI-gegenereerde documenten toegestuurd krijgt die de "statistische textuur" hebben van wiskundige papers, maar waarvan men verwacht dat de kans dat ze betekenisvol correct zijn zeer laag is (en die, men neemt aan, grotendeels zijn gemaakt door mensen die zelf de wiskunde niet bijzonder begrepen, maar hun AI's simpelweg opdracht gaven om "wiskunde te maken"). Dus ja, de LLM kan in feite werken in termen van menselijke wiskundige concepten, maar met dezelfde soorten onzekerheden en onnauwkeurigheden die het menselijk denken beïnvloeden.

De kracht en uitdaging van formalisatie

Maar hoe zit het met het omzetten van die menselijke constructen in iets precieers en formaals — iets dat meer op een axiomatisch niveau ligt? Ik ben al enkele decennia betrokken bij het nadenken over dergelijke zaken. Er is recent veel enthousiasme over het idee van autoformalisatie: neem "wiskunde op menselijk niveau" en zet dit automatisch om in iets formaals en axiomatisch, dat bijvoorbeeld geverifieerd kan worden door een proof assistant-systeem. In eerste instantie klinkt dit als een goed idee. Maar er is een probleem. Ja, de proof assistant kan een bewijs verifiëren. Maar was het een bewijs van datgene waarvan u dacht dat het een bewijs was? De zwakke schakel is de zekerheid dat de formalisatie van uw menselijke wiskunde correct vastlegt wat u probeerde uit te drukken.

Ik heb deze ervaring nu vaker gehad: ik probeer iets te autoformaliseren, en een AI vertelt me: "Ik heb het gedaan; kijk, het bewijs klopt!" Maar eigenlijk heeft het op een bepaalde manier gesjoemeld: in plaats van te formaliseren wat ik bedoelde, vond het een (soms zeer vreemde) manier om mijn vraag te interpreteren zodat het succesvol kon bewijzen. Het is vaak erg moeilijk om te zien dat dit is gebeurd — niet in de laatste plaats omdat de geformaliseerde versies van zaken (zoals uitgedrukt in populaire proof assistant-systemen) vaak zeer laag-niveau, zeer woordrijk en erg moeilijk te begrijpen zijn voor ons mensen.

Wat kan men dan doen? Nou, ik denk dat er iets heel goeds gedaan kan worden, dat centraal gebaseerd is op de toren van ideeën en technologie die we al zo lang hebben ontwikkeld in de Wolfram Language. Ons doel met de Wolfram Language is altijd geweest om een taal — of in feite een notatie — te creëren die in precieze computationele termen zaken kan representeren waar wij als mensen over nadenken. Het is niet zoals een programmeertaal waarin men slechts ruwe constructen en operaties in een computer representeert; in plaats daarvan is het gebaseerd op het representeren van werkelijke dingen in de wereld, en werkelijke concepten waar we over nadenken. En ook is het niet alleen een manier om een computer te vertellen wat hij moet doen; als een enorme generalisatie van wiskundige notatie is het een taal waarin men kan lezen en denken.

In de afgelopen couple van jaren is er een krachtige algemene workflow ontstaan: vertel een AI wat u wilt, en laat de AI vervolgens Wolfram Language schrijven om een precieze representatie te geven van wat hij denkt dat u bedoelt. Als dit correct wordt gedaan, zou deze representatie iets moeten zijn dat u als mens kunt begrijpen — en vervolgens naar wens kunt controleren en wijzigen.

Een nieuwe hoog-niveau taal voor zuivere wiskunde

In de afgelopen vier decennia hebben we de Wolfram Language gestaag uitgebreid om een groot aantal domeinen te bestrijken, waaronder het meeste van wat men vandaag de dag als "toegepaste wiskunde" beschouwt. En inderdaad, wat de Wolfram Language doet, is uiterst nuttig gebleken in zuiver wiskundig onderzoek. Maar in het verleden — ondanks onze inspanningen van iets meer dan een decennium geleden — zijn we nooit helemaal in staat geweest om de bouw van brede mogelijkheden specifiek voor zuiver wiskundig onderzoek te rechtvaardigen. Maar mede dankzij de algemene vooruitgang van het Wolfram Language-platform, en mede door de veranderende economie van ontwikkeling in verband met AI, zijn we midden in een grote inspanning om het ontwerp van de Wolfram Language uit te breiden zodat het de constructen van zuiver wiskundig onderzoek omvat, van sheaves tot Lie-groepen tot Clifford-algebra's.

Ons doel is om onze methoden en lange ervaring in computationeel taalontwerp te gebruiken om zuivere wiskunde breed computationeel te maken — op een manier die zowel mensen als AI's kunnen gebruiken. En ja, we kunnen dan eindelijk verwachten dat er papers komen waarbij onder elke wiskundige bewering een precieze en ondubbelzinnige computationele versie staat, die men systematisch kan uitvoeren en computationeel kan verwerken.

Maar we zullen ook een echt doel hebben voor autoformalisatie — in feite een nexus van menselijke wiskunde, AI en berekening. Stel dat we een bewering hebben die begrijpelijk is geformaliseerd in onze uitgebreide Wolfram Language voor zuivere wiskunde. Vaak zullen we in de praktijk een resultaat willen berekenen op basis daarvan. Maar soms — volgens de tradities van de zuivere wiskunde — zullen we het gewoon abstract willen bewijzen.

Geautomatiseerd stellingbewijzen

Kunnen we dat automatisch doen? Nou, er is geautomatiseerd stellingbewijzen (automated theorem proving), waarvan veel typen bijvoorbeeld zijn ingebouwd in de Wolfram Language. Soms is geautomatiseerd stellingbewijzen in feite impliciet (zoals: "Solve toonde aan dat dit polynoom geen reële wortels heeft"). Soms (zoals bij FindEquationalProof) kan het explicieter zijn, met een precieze — en eenvoudig te verifiëren — symbolische representatie van alle stappen in een bewijs.

Men zou kunnen denken dat dit breed krachtig zou zijn voor zuivere wiskunde. Maar in ten minste de afgelopen decennia is dat niet het geval geweest. Een groot deel van de reden is dat het moeilijk is geweest om typisch onderzoek-niveau zuivere wiskunde af te breken tot een voldoende granulair axiomatisch niveau om het toegankelijk te maken voor dergelijke methoden. Een ander deel is dat — dankzij het fenomeen van computationele irreducibiliteit en onbeslisbaarheid — bewijzen onbereikbaar lang kunnen zijn.

En ik denk dat het eerlijk is om te zeggen dat er in de hele geschiedenis van geautomatiseerd stellingbewijzen eigenlijk maar één voorbeeld is van iets dat plausibel als een echt wiskundig resultaat kan worden beschouwd dat nog niet als waar werd beschouwd, en dat voor het eerst werd gevonden met geautomatiseerd stellingbewijzen. Dat is iets wat ik in 2000 deed — het vinden van het minimale axiomasysteem voor de Booleaanse algebra. Maar er was nog een probleem: het gevonden bewijs is zeer lang, zeer laag-niveau en zeer alien. En in de afgelopen 26 jaar is het nooit mogelijk geweest — met AI of anderszins — om een menselijke versie daarvan te vinden. In feite is het, voor zover we kunnen vaststellen, een soort uitsteeksel in het metawiskundige universum, niet verbonden met bestaande menselijke wiskundige concepten.

Natuurlijk kunnen we het resultaat van het bewijs gewoon gebruiken — als een soort "black-box stuk wiskunde". Maar voor zover ons doel in de wiskunde is om een menselijk wiskundig narratief te bieden, vertegenwoordigt dit een gat in het narratief.

Stel nu dat u een bewijs neemt dat al bekend was in de wiskundige literatuur, en u dit op een bepaalde manier formaliseert — of dat nu door AI of door directe menselijke inspanning is. Als het een ingewikkeld bewijs is, dan is dit zeker een prestatie. En als u er zeker van bent dat u daadwerkelijk het juiste heeft geformaliseerd, dan is het een goede controle of het bewijs echt correct is. Men moet echter niet verwachten dat men nieuw inzicht krijgt, of nieuwe herbruikbare componenten aan het licht brengt. En dan is er de vraag naar de feitelijke wiskundige inhoud. Ja, er is een formeel resultaat vastgesteld — maar welk onderliggend axiomasysteem is er bijvoorbeeld voor gebruikt (en nee, het is waarschijnlijk uiteindelijk niet iets vertrouwds als de verzamelingenleer)?

(Het is de moeite waard om op te merken dat geformaliseerde bewijzen zelf objecten van studie kunnen worden. Met veel bewijzen van een gegeven stelling kan men bijvoorbeeld vragen gaan stellen over de geometrie en topologie van de bewijsruimte. En met bewijzen van veel stellingen kan men "empirische metawiskunde" gaan bedrijven om hun fundamentele relaties te begrijpen.)

Probleemoplossing in de wiskunde

Zoals we zullen bespreken, komt veel van de belangrijkste vooruitgang in de zuivere wiskunde voort uit de uitvinding van nieuwe concepten en structuren (vaak ingekapseld in nieuwe definities). Maar er is nog steeds een enorme hoeveelheid te doen met bestaande concepten en bestaande structuren. Soms is het doel om "een antwoord te berekenen". Soms is het om "een bewijs te vinden". Soms is het om "een voorbeeld of tegenvoorbeeld te vinden". En soms is het om "uit te zoeken wat waar is". In al deze gevallen is er volop krachtige algoritmische berekening beschikbaar (bijv. in Wolfram Language) om resultaten te behalen, vaak zeer direct en snel.

AI's kunnen dergelijke berekeningen zeker gebruiken (bijv. via Wolfram MCP). Maar hoe kan moderne AI direct bijdragen? Men kan zich voorstellen dat men het simpelweg "chatbot-stijl" vraagt om resultaten te genereren. En vaak komt het inderdaad met een resultaat. Maar hoe kun je weten of het correct is? Soms is de enige manier in feite het formaliseren van het hele proces van het verkrijgen ervan, zoals we hierboven bespraken. Maar soms kunnen we het resultaat gewoon nemen en er een berekening op uitvoeren om te controleren of het correct is. Als de AI bijvoorbeeld claimt een integraal op te lossen, kunnen we zijn oplossing simpelweg differentiëren en zien of we iets terugkrijgen dat equivalent is aan de integrand. Of als de AI met een tegenvoorbeeld voor iets komt, kunnen we gewoon een berekening uitvoeren om te controleren of het inderdaad een tegenvoorbeeld is.

We weten niet veel over wat er "binnenin gebeurt" wanneer een LLM met een resultaat komt. Maar het is waarschijnlijk geen slecht model om het te zien als een proces van het samenvoegen van verwerkte stukjes uit de miljoenen wiskundige papers waarop het is getraind. Uiteindelijk kan wat het doet echter neerkomen op iets dat algoritmisch vrij eenvoudig is. De AI heeft het voordeel van grote breedte. En in mijn ervaring komt het vaker voor dat het iets heeft gevonden dat vrij eenvoudig — of zelfs voor de hand liggend — zou zijn als men toevallig op de juiste plek had gekeken. Maar eenmaal gevonden, kan het worden geïmplementeerd als een stuk pure berekening (bijv. in Wolfram Language), waarvoor geen AI in de buurt nodig is.

Wanneer mensen wiskunde bedrijven en problemen oplossen, is het gebruik van intuïtie een belangrijk onderdeel van het proces. Maar wat is intuïtie eigenlijk? Op een zeker niveau lijkt het een soort procedurele patroonherkenning van "ik weet hoe dit zal lopen". En wat betreft intuïtie — mijn intuïtie is dat dit, althans in zijn basisvorm, geen bekwaamheid is die fundamenteel onbereikbaar is voor LLM's.

Een van de uitdagingen is echter dat men zelfs om een probleem op te lossen dat is geformuleerd in termen van bestaande wiskundige concepten, vaak "uit het systeem moet breken" en nieuwe concepten moet uitvinden — een klassiek voorbeeld is de noodzaak van complexe getallen bij het vinden van zelfs reële oplossingen voor derdegraadsvergelijkingen. Op een zeker niveau is dit nog een manifestatie van computationele irreducibiliteit, en de manier waarop dit elke gegeven zak van computationele reduceerbaarheid beperkt. Het effect is dat wat lijkt op "pure probleemoplossing" vaak in feite de uitvinding van nieuwe concepten en structuren vereist.

Open-ended wiskunde

Hoe zit het dan met wat men kan beschouwen als open-ended wiskunde? In de ruliologie is het zeer gebruikelijk om gewoon het computationele universum in te gaan en te "zoeken naar interessante dingen". In de wiskunde is dat traditioneel niet gebruikelijk. Natuurlijk kan men in principe bedenken om, zeg, systematisch mogelijke stellingen op te sommen op basis van een set axioma's, en vervolgens te vragen: welke hiervan zijn "interessant"? Operationeel zou men kunnen vragen: "Welke van deze stellingen zou men noemen als men een boek of paper schreef?"

Jaren geleden heb ik gekeken naar het zeer eenvoudige geval van mogelijke stellingen van de Booleaanse algebra en empirisch ontdekt dat er een criterium was voor welke daarvan doorgaans namen krijgen in tekstboeken over logica: het zijn in basis de stellingen die niet bewezen kunnen worden uit stellingen die eerder in een lexicografisch geordende lijst van mogelijke stellingen staan — of, in zekere zin, de eenvoudigste stellingen die "nieuwe informatie geven".

In complexere gevallen zou men kunnen denken dat een AI die getraind is op miljoenen voorbeelden van stellingen die mensen kozen om in de wiskundige literatuur te publiceren, in staat zou zijn om de menselijke criteria voor interessantheid te kanaliseren. Maar naar mijn ervaring werkt dit niet echt. En ik denk dat de reden is dat in alle behalve de eenvoudigste gevallen interessantheid niet iets is dat stelling per stelling kan worden bepaald: in plaats daarvan vereist het dat men de gehele historische ontwikkeling van een specifiek gebied van de wiskunde in kaart brengt. En dan kan men zich afvragen welke aspecten van de boog van die ontwikkeling op een bepaalde manier onvermijdelijk zijn, en welke gewoon historische toevalligheden zijn.

Ik heb onlangs een vergelijkbare vraag gesteld voor biologische evolutie. En in dat geval heb ik ontdekt dat er inderdaad enkele (fundamenteel computationele) algemene principes lijken te zijn. Bijvoorbeeld, adaptieve evolutie volgens een computationeel beperkte fitnessfunctie lijkt over het algemeen te leiden tot de aanwezigheid van modulaire structuren (analoog aan organellen, organen, etc.). Deze structuren "komen niet met een uitleg van wat ze zijn". Maar ze representeren in feite "ruwe zakken van computationele reduceerbaarheid".

In de ontwikkeling van de zuivere wiskunde is één ding duidelijk kritisch: de identificatie van nieuwe structuren en concepten. Historisch gezien zijn dergelijke structuren en concepten altijd door mensen geïntroduceerd, en zijn ze in feite "meegeleverd met uitleg". Maar zou men zich bijvoorbeeld kunnen voorstellen dat nieuwe structuren en concepten automatisch worden gevonden, bijvoorbeeld door een AI? En zou men vervolgens nieuwe wiskunde kunnen bouwen met deze zaken?

Nieuwe wiskundige concepten

Deze twee vragen blijken enigszins gescheiden te zijn. Op een eenvoudig niveau is het vrij eenvoudig (bijvoorbeeld door te kijken naar autoencoders) om in neurale netwerken specifieke activatiepatronen te identificeren die men kan zien als samenvattingen van zakken van computationele reduceerbaarheid, of in feite "het representeren van nieuwe concepten". Maar voor zover wiskunde gaat over het definiëren van wiskundige narratieven voor ons, is dit niet onmiddellijk behulpzaam.

Ja, de AI kan in feite triljoenen nieuwe concepten identificeren. Maar onze menselijke geesten kunnen er slechts een beperkt aantal mee omgaan. Het is erg vergelijkbaar met natuurlijke taal. We kunnen ons een AI voorstellen die patronen in menselijke discourse bekijkt en triljoenen nieuwe woorden bedenkt die geïntroduceerd zouden kunnen worden om deze samen te vatten. Maar wij mensen lijken slechts in staat te zijn om een beperkt aantal verschillende woorden te kennen (typisch een paar tienduizenden).

Hoe zit het dan in de wiskunde? Een AI zou in principe een triljoen definities van nieuwe wiskundige concepten kunnen bedenken. Maar iets dat daaruit is opgebouwd, zal onvermijdelijk net zo alien lijken als iets dat "ruliologisch" is opgebouwd uit ruwe wiskunde op axiomatisch niveau. De bouwstenen zijn misschien meer "menselijk niveau". Maar ze zijn ons niet bekend als mensen, en dus kunnen we niet gemakkelijk in termen daarvan denken.

Er worden natuurlijk nieuwe woorden geïntroduceerd in menselijke talen, en nieuwe concepten geïntroduceerd in de wiskunde. Maar het is een geleidelijk proces, dat in de praktijk vaak een zekere "maatschappelijke consensus" vereist. (En inderdaad, bij het ontwikkelen van het ontwerp van de Wolfram Language in de afgelopen vier decennia heb ik het tempo waarin nieuwe concepten worden geïntroduceerd expliciet beperkt, om er zeker van te zijn dat mensen kunnen bijhouden.)

De doelen van de wiskunde

Maar goed, er zijn dus talloze mogelijke nieuwe concepten en nieuwe structuren — die allemaal corresponderen met zakken van computationele reduceerbaarheid — die "daar in het metawiskundige universum" aanwezig zijn. Maar bij het ontwikkelen van wiskunde die geschikt is voor ons mensen, kunnen we er slechts een fractie van nastreven.

Met andere woorden: het is onvermijdelijk dat de ontwikkeling van de wiskunde keuzes moet maken over waarheen ze gaat. Ze kan niet zinvol "alle mogelijkheden nastreven". Ze moet duidelijke doelen hebben.

Maar waar komen de doelen voor de zuivere wiskunde vandaan? In technologische ontwikkeling worden doelen vrij direct gesteld door wat mensen nuttig vinden. In de natuurwetenschap door wat men observeert en de instrumenten die men heeft om de natuurlijke wereld te interpreteren. Maar in de zuivere wiskunde lijken er in eerste instantie geen zulke overduidelijke "externe" manieren te zijn om doelen te definiëren — waardoor de wiskunde die is gedaan meer bepaald lijkt door de interne keuzes van de wiskundige gemeenschap en de leiders daarbinnen.

Maar als men kijkt naar de historische boog van de menselijke wiskunde, zijn er ten minste duidelijke trends te zien. De reis van de wiskunde begon met basisformaliseringen van zaken als getallen en ruimte die op een bepaalde manier de alledaagse menselijke perceptie van de wereld weerspiegelen. En hoewel de wiskunde ongeveer een eeuw geleden leek vastbesloten om te "generaliseren naar alle mogelijkheden", zijn de meeste van de sterkste trajecten van wiskundige ontwikkeling in de afgelopen eeuw eigenlijk veel dichter gebleven bij wat mensen intuïtief kunnen begrijpen en visualiseren.

Er is nog steeds veel vrijheid in waar men naartoe gaat in de wiskunde. Maar om betekenisvol te zijn voor ons mensen, moeten we op een bepaalde manier een zekere vertrouwdheid hebben met whatever keuzes er worden gemaakt. Ja, een AI zou bijvoorbeeld willekeurig een richting kunnen kiezen, misschien geïnformeerd door de geobserveerde statistieken van bestaande menselijke keuzes. Maar er is dan geen reden voor mensen om er om te geven; het is niets dat relateert aan onze feitelijke ervaring van wiskunde.

Op een praktischer niveau gaat een deel van het bedrijven van wiskunde over het uitzoeken hoe doelen die zijn gesteld, kunnen worden bereikt — en dit is iets waarvan we ons kunnen voorstellen dat AI het doet. Maar wat uiteindelijk belangrijker is, is het stellen van de doelen in de eerste plaats. En bijna per definitie moeten deze van "buiten het systeem" komen. Of, specifieker, van ons.

Het is een opmerkelijke observatie dat de meest significante gerapporteerde successen voor AI in de wiskunde tot nu toe neigen te komen van enkele van de meest bekwame menselijke wiskundigen. En in zekere zin zouden we hier niet van verrast moeten zijn — want het stellen van doelen (of in feite, weten welke vragen men moet stellen) is het belangrijkste en unieke deel. Inderdaad, het is vaak zo dat zodra men echt weet welke vraag men moet stellen, men al het leeuwendeel van het werk heeft gedaan om deze te beantwoorden.

Maar waar komen de doelen voor zuivere wiskunde in de praktijk vandaan? Er lijken twee basisbronnen te zijn. De ene is wat neerkomt op probleemoplossing; de andere op wat neerkomt op creatief bouwen. Probleemoplossing is in zekere zin duidelijker, meetbaarder en toegankelijker voor AI. Neem een probleem dat in het verleden is gedefinieerd en waar een tijd aan is gewerkt. Dan is het doel om het op te lossen. En als men slaagt, is er een duidelijke manier om te zeggen dat men iets heeft gepresteerd ("een Erdős-probleem is opgelost!"), zelfs als het soms meer lijkt op een sportieve prestatie, met in het beste geval troebele uiteindelijke intellectuele inhoud.

De esthetiek van wiskunde

Maar dan is er wat men zou kunnen beschouwen als "creatief bouwen": het bedenken van nieuwe structuren en nieuwe concepten voor de wiskunde. Op een ultiem metawiskundig niveau moeten deze structuren en concepten al "aanwezig zijn", als zakken van computationele reduceerbaarheid. Men kan het doel dan zien als het identificeren van specifieke zaken en deze in het "lexicon" brengen waarmee men over wiskunde spreekt.

Maar van alle mogelijkheden, welke wil men dan hebben? Men zou verschillende criteria kunnen bedenken. Maar meestal komt het neer op het willen creëren van abstracties die uiteenlopende zaken het beste verenigen, samenvatten en vereenvoudigen. En zo geformuleerd zou men kunnen denken dat dit een doel zou zijn dat geautomatiseerd zou kunnen worden, bijvoorbeeld door AI. Maar er is een cruciale complicatie. Men zou kunnen denken dat iets "eenvoudiger" is als het korter is om te formuleren. Maar hoe lang iets is om te formuleren, hangt af van de taal waarin het is geformuleerd. Dus wederom is er niets onmiddellijk absoluuts; het is iets dat onvermijdelijk afhangt van een hele geschiedenis van onderling verbonden keuzes.

Vaak beschrijven mensen de keuzes als esthetisch. Wat maakt een structuur eleganter, perfecter, etc.? Uiteindelijk zijn dit zaken die geworteld zijn in menselijke voorkeur en menselijke ervaring, en worden uitgebreid door wat men kan beschrijven als menselijk initiatief. Maar heb je eigenlijk een mens nodig om de keuzes te maken? Of zou je in plaats daarvan een soort generatieve AI kunnen hebben die is getraind op bestaande menselijke keuzes? Het probleem is dat om nuttig nieuwe bouwstenen voor de wiskunde te creëren, je meer nodig hebt dan alleen het uitvinden van nieuwe concepten en structuren; ze moeten ook worden ingeweven in het weefsel van de wiskundige cultuur.

Het is als het introduceren van een nieuw woord in een menselijke taal. Om het woord nuttig te zijn, moet de betekenis ervan breed genoeg bekend zijn om routinematig voor een bepaald concept te staan. En het verspreiden van deze betekenis is onvermijdelijk op een zeker niveau een sociaal proces. En zo is het ook voor nieuwe concepten en structuren in de wiskunde. Voor zover wiskunde gaat over het ontwikkelen van wiskundige narratieven voor menselijke geesten, moeten concepten en structuren gedeeld worden als ze nuttig als bouwstenen gebruikt willen worden. Het is een beetje als de kwestie in een typisch geautomatiseerd bewijs. Als men kan zeggen dat een bepaalde stap is afgeleid van "de stelling van X", dan biedt dat een soort conceptueel anker. Maar als elke stap in zekere zin op maat gemaakt is, eindig je met iets dat in feite alien lijkt.

Waar laat dit AI in de wiskunde? Het is vergelijkbaar met AI op veel andere plekken. Definieer een doel correct en AI kan zeer behulpzaam zijn. Zonder doel weet het niet waar het heen moet. Het verkennen van mogelijkheden op een ruliologische manier — en in feite het bedrijven van experimentele wiskunde — kan veel verrassende nieuwe resultaten opleveren. Maar in zekere zin zijn ze "alien geboren", niet onmiddellijk verbonden met wat we normaal gesproken als wiskunde beschouwen.

Waarom überhaupt zuivere wiskunde bedrijven?

Maar goed, AI kan dus helpen bij het uitbreiden van de onderneming die we zuivere wiskunde noemen. Maar het zal onvermijdelijk menselijke inspanning en menselijk initiatief vereisen. Dus waarom zou je het doen?

Een veelgehoord argument is dat het uiteindelijk nuttig zal blijken voor iets "praktisch". Vaak is de gedachte dat zuivere wiskunde op een bepaalde manier bepaalde "bakens" plaatst waar de wetenschap en technologie uiteindelijk bij aankomen. Maar ik denk dat het werkelijke beeld eerder omgekeerd is. De wiskunde die we creëren, biedt manieren van denken. En wanneer we deze manieren van denken hebben, eindigen we met het creëren van wetenschap en technologie die er gebruik van maken. Het is niet zo dat er een convergentie is tussen wat er in de wiskunde is gedaan en wat er in de wetenschap is ontdekt. Het is dat de wiskunde die we kennen bepaalt naar wat we uiteindelijk in de wetenschap op zoek gaan.

Soms is er de gedachte dat de dingen die we in de wetenschap ontdekken op een bepaalde manier uniek en onvermijdelijk zijn. Maar wanneer we denken in termen van de ruliad, realiseren we ons dat er eigenlijk een oneindig aantal verschillende plakjes computationele reduceerbaarheid zijn, die elk in feite hun eigen visie op wetenschap definiëren. En keer op keer gebeurt er historisch gezien dat eerst een conceptueel kader wordt ontwikkeld — vaak vanuit de wiskunde — en pas daarna wordt duidelijk dat er een bijbehorende regelmaat is die men kan observeren, en die de weg wijst naar een stuk wetenschap. Met andere woorden, het is geen mysterieuze convergentie tussen zuivere wiskunde en wetenschap; het is dat de wetenschap wordt ontwikkeld omdat de zuivere wiskunde bestaat.

In zekere zin maakt dit de onderneming van de zuivere wiskunde minder speculatief. Het is niet zo dat we een stuk zuivere wiskunde doen in de hoop dat er op een dag een toepassing voor wordt gevonden. In plaats daarvan is het zo dat het bedrijven van het stuk zuivere wiskunde een manier van denken ontwikkelt (en in feite een zak van computationele reduceerbaarheid onthult) die iemand de kans geeft om tot de toepassing te komen.

Zou een stuk zuivere wiskunde gewoon "fundamenteel nutteloos" kunnen blijken te zijn? In zekere zin is het antwoord nee. Want elke keer dat er een stuk zuivere wiskunde succesvol is uitgevoerd, moet dit corresponderen met een bepaalde zak van computationele reduceerbaarheid. En elke zak van computationele reduceerbaarheid zal geassocieerd worden met regelmatigheden die onvermijdelijk de "grondstof" zijn voor een vorm van wetenschap en een vorm van technologie.

Het addertje onder het gras is echter dat dit zeer alien vormen van wetenschap en technologie kunnen zijn, ver verwijderd van alles wat we tot nu toe hebben overwogen. Het is niet dat de wiskunde ons geen wetenschap en technologie kan geven; het is gewoon dat de boog van wetenschappelijke en technologische ontwikkeling mogelijk nog niet op het punt is gekomen waar we om geven wat het oplevert.

In de oudheid was de grote bijdrage van de wiskunde aan onze manier van denken het idee van deductieve redenering. In recentere tijden kwamen een multitude aan ideeën over continuïteit, reële getallen, etc. Daarna, iets meer dan een eeuw geleden, kwam het idee van abstracte functies en vervolgens het idee van berekening (computation). Eenmaal bereikt, lijkt dit idee bijna voor de hand liggend. Maar historisch gezien was er een verrassend hoge toren van abstract wiskundig denken nodig om dit te bereiken. En ja, het algemene begrip van berekening is van groot praktisch belang. Maar — zoals ik in de loop van vele decennia heb onderzocht — is het ook fundamenteel voor de algemene manier waarop we over dingen nadenken.

Een van de opvallende kenmerken van zuivere wiskunde is dat het een bepaalde stijl van gestructureerd denken inhoudt die al lang als belangrijk wordt gezien in het onderwijs. In zekere zin denk ik dat berekening — en in het bijzonder computationele taal, met zijn manier om de wereld te beschrijven — een krachtig alternatief biedt voor het leren van gestructureerd denken. Maar de fundamentele studie van berekening is veel jonger dan de wiskunde, en veel directer onderworpen aan de beperkingen van computationele irreducibiliteit. Het resultaat is dat de moderne zuivere wiskunde een veel hogere toren van gestructureerd denken en formalisatie heeft ontwikkeld — en inderdaad, haar toren is hoger dan die van elk ander veld.

Het is een grote investering om die toren te leren kennen. En weinigen doen dat. Degenen die dat wel doen, hebben diverse motivaties. Voor sommigen is het een kwestie van uitdaging. Voor anderen meer een kwestie van het "panoramische uitzicht vanaf de toren". In zekere zin maakt de automatisering door AI de uitdaging minder aantrekkelijk — hoewel, zoals bij iets als schaken, er nog steeds vervulling kan zitten in pure menselijke prestatie. Maar als het gaat om het panoramische uitzicht, zit de vervulling in de menselijke esthetische ervaring, die totaal losstaat van automatisering en AI.

Een halve millennium geleden waren er wiskundige uitdagingen die als toeschouwerssporten waren opgezet. Vandaag de dag is het uitdagingsaspect van de wiskunde niet meer zo succesvol in het trekken van publieke belangstelling. Sterker nog, niets aan het proces van het bedrijven van wiskunde wordt gewoonlijk aan het publiek getoond, behalve in zeer geringe mate via films die draaien om persoonlijkheden.

(En ja, men zou zich kunnen afvragen of het bedrijven van wiskunde op enige manier publiek entertainment kan bieden. Ik kan melden dat ik zelf een behoorlijk aantal succesvolle live wiskundige computerexperimenten heb gedaan. En tijdens de pandemie heb ik vele uren aan zeer technische werksessies over wiskundige fysica gelivestreamd — wat een verrassend aantal views trok.)

Dus hoe zit het met wiskunde als een wezenlijk esthetische activiteit? Ja, het is vervullend en verrijkend voor de persoon die het doet. Maar wat heeft de samenleving als geheel eraan? Net zoals een fractie van de kunst publieke kunst is, zou men zich kunnen afvragen of er publieke wiskunde kan zijn. Af en toe zal er publieke visuele of sculpturale wiskunde zijn, of misschien architectuur of muziek die wiskunde belichaamt. Maar realistisch gezien is dat niet wiskunde op het niveau van de top van de toren van de zuivere wiskunde.

Eén ding om te begrijpen over de bovenste regionen van de zuivere wiskunde is dat deze tot op een verrassende extent is doorgegeven als een orale traditie en een keten van menselijke connecties. Misschien is dit gedeeltelijk een gevolg van de structuur van de academische wereld en academische publicaties. Maar het feit blijft dat het in stand houden van de vlam van de zuivere wiskunde een bepaalde gemeenschap van individuen lijkt te vereisen die dit voortdurend en actief nastreven, en praten over hoe het gedaan wordt. Met andere woorden, zelfs als hun persoonlijke motivaties puur intern zijn, heeft hun collectieve inspanning de langetermijnwaarde dat de vooruitgang van de zuivere wiskunde kan doorgaan.

Men zou kunnen vragen of de zuivere wiskunde op een gegeven moment "af" zal zijn. En hierop kunnen we definitief antwoorden: dat zal niet gebeuren. Computationele irreducibiliteit garandeert dat er altijd een oneindige reeks wiskundige feiten — en verrassingen — zal zijn om te ontdekken. En er zal ook een oneindig aantal zakken van computationele reduceerbaarheid zijn, die nieuwe wiskundige concepten en structuren representeren.

De zuivere wiskunde staat als het grootste intellectuele bouwwerk dat door onze beschaving is opgericht. Er zijn enkele van de meest impactvolle ideeën in de menselijke intellectuele geschiedenis uit voortgekomen — zoals formalisatie, abstractie en berekening. In moderne tijden zijn er versnellers voor de zuivere wiskunde. Praktische berekening was er één. AI is een andere. Experimentele wiskunde in de stijl van de ruliologie is er nog een, zij het nog vrij onontwikkeld. En ik wil graag geloven dat de taal voor zuivere wiskunde die we aan het bouwen zijn — vooral in combinatie met AI — er nog een zal zijn.

Het werk van de zuivere wiskunde is lang en zwaar (ja, een gevolg van computationele irreducibiliteit). Maar in de loop van millennia is het belang voor de kern intellectuele ontwikkeling van onze beschaving zeer groot geweest. En er is geen twijfel dat het nog meer te bieden heeft. En dat zelfs nadat de kwesties van vandaag allang vergeten zijn, de zuivere wiskunde zal blijven schijnen als een baken van menselijke prestatie. Dus ja, er is alle reden om een stralende toekomst te verwachten — nu met wat extra hulp van AI — voor die meest verfijnde van menselijke bezigheden: onderzoek naar zuivere wiskunde.

Verdere lectuur

• "Can AI Solve Science?" (2024)
• "The Physicalization of Metamathematics and Its Implications for the Foundations of Mathematics" (2022)
• "Who Can Understand the Proof? A Window on Formalized Mathematics" (2025)
• "The Empirical Metamathematics of Euclid and Beyond" (2020)
• "Computational Knowledge and the Future of Pure Mathematics" (2014)
• "What Is ChatGPT Doing … and Why Does It Work?" (2023)
• "Will AIs Take All Our Jobs and End Human History—or Not? Well, It’s Complicated…" (2023)

***

Noot Sommige van de ideeën in dit stuk heb ik gedurende meer dan drie decennia besproken met mijn vrouw Elise Cawley, die helaas kort voor het schrijven van dit stuk is overleden, en die ongetwijfeld vele waardevolle en scherpe inzichten hierover zou hebben gehad, die nu voorgoed verloren zijn.