OpenAI claimt een oplossing te hebben gevonden voor het Navier-Stokes-probleem, een van de grootste open vragen in de wiskunde. Hoewel dit resultaat formeel in aanmerking komt voor de prijs van het Clay Mathematics Institute, is er veel kritiek vanuit de wetenschappelijke gemeenschap.
De kern van de controverse is dat de door een LLM gegenereerde oplossing gebruikmaakt van een externe kracht om een 'blowup' (een punt waar de stroming oneindig snel wordt) te triggeren. Wiskundigen stellen dat dit een kunstmatig hiaat in de probleemstelling is en dat het fundamentele probleem — of een blowup kan optreden door enkel intrinsieke krachten binnen een vloeistof — onopgelost blijft.
Het artikel concludeert dat LLM's zeer effectief zijn in het doorzoeken van enorme landschappen van scenario's om specifieke oplossingen te vinden, maar dat zij nog steeds tekortschieten in het creëren van volledig nieuwe wiskundige theorieën.
Heeft OpenAI het verkeerde Navier-Stokes-probleem opgelost?
OpenAI’s oplossing maakt gebruik van een externe kracht om de Navier-Stokes-vergelijkingen te 'breken', vergelijkingen die bedoeld zijn om te beschrijven hoe vloeistoffen, zoals water, stromen.
Twee weken geleden claimde OpenAI een oplossing te hebben gevonden voor een van de grootste open problemen in de wiskunde: het Navier-Stokes-probleem. Een prestatie die een prijs van 1 miljoen dollar van het Clay Mathematics Institute oplevert. Het bewijs ontketende een golf van bezorgdheid over de race van kunstmatige intelligentiebedrijven om het vakgebied te ontregelen.
Maar terwijl de stof nog niet is neergedaald, ontstaat er een andere controverse: heeft OpenAI überhaupt het juiste Navier-Stokes-probleem opgelost?
Het bewijs, gegenereerd door een intern groot taalmodel (LLM), rust op een benadering die veel experts als onnatuurlijk beschouwen. Het lost een variant van het probleem op waarvan wiskundigen zeggen dat deze losstaat van de realiteit en daarom minder interessant is. In zekere zin heeft het LLM een hiaat in de formulering van de vraag gevonden en uitgebuit.
„Het belangrijkste probleem is onopgelost,” zegt Luis Silvestre, een wiskundige aan de Universiteit van Chicago. „Het Clay-probleem is afgehandeld, maar het hoofdprobleem voor de Navier-Stokes-vergelijkingen is dat niet.”
Bovendien plaatsten drie wiskundigen afgelopen donderdag een eigen bewijs dat aantoont dat de methode van OpenAI nooit kan worden uitgebreid om het volledige probleem op te lossen. Met andere woorden: het hiaat zal nooit worden gedicht, tenzij er een volledig nieuw idee wordt geïntroduceerd.
De aard van de Navier-Stokes-vergelijkingen
De Navier-Stokes-vergelijkingen zijn bedoeld om te beschrijven hoe vloeistoffen stromen, maar wiskundigen twijfelen of ze altijd vertrouwd kunnen worden. Het miljoen-dollar-probleem draait om de vraag of de vergelijkingen ooit kunnen „ontploffen” (blow up), wat zou betekenen dat ze toestaan dat de stroming op bepaalde punten oneindig snel wordt — iets wat in de echte wereld niet kan gebeuren.
Er is echter één onderdeel van de vergelijkingen dat optioneel is: een externe kracht, zoals zwaartekracht, die beïnvloedt hoe een vloeistof beweegt. „Alle vloeistoffen die we kennen, staan onder een of andere vorm van externe kracht,” zegt wiskundige Diego Córdoba. „Dus het meerekenen van die kracht is volkomen logisch.”
Wanneer de meeste experts echter denken aan het Navier-Stokes-probleem, doen ze dat zonder deze kracht. Ze willen een zuiverdere, fundamentalere manier vinden waarop de vergelijkingen kunnen ontploffen door enkel gebruik te maken van de intrinsieke krachten binnen elke vloeistof — niet door een specifieke, nauwgezet ontworpen externe kracht toe te passen. „De meeste andere groepen richtten zich inderdaad specifiek op het scenario zonder kracht,” zegt wiskundige Luis Martínez-Zoroa.
Het gebruik van AI en het ontdekte hiaat
In de afgelopen jaren hebben Córdoba en Martínez-Zoroa hun focus volledig gelegd op dit nichegedeelte van de vergelijkingen en een methode ontwikkeld om een zeer specifieke externe kracht te bouwen die een 'blowup' triggert. Op 7 september gebruikten twee andere wiskundigen hun programma (en AI) om een blowup te produceren voor een wrijvingsloze vloeistof — wat werd beschouwd als een grote stap richting het ontploffen van Navier-Stokes. OpenAI voltooide het werk minder dan een dag later, een timing die heeft geleid tot een verhit geschil tussen de genoemde wiskundigen en het bedrijf.
Het nieuwe werk dat afgelopen donderdag werd gepubliceerd, laat echter onomstotelijk zien dat als de externe kracht wordt verwijderd, de blowup verdwijnt. De methode van OpenAI kan in feite nooit werken zonder het gebruik van een zeer kunstmatige vergelijking voor de kracht die in niets lijkt op wat er in de echte wereld zou kunnen gebeuren. „Ze bewijzen in feite dat de formulering met een externe kracht verschilde van het probleem dat we echt wilden oplossen,” zegt Silvestre.
In andere woorden: het resultaat van het LLM beantwoordt het Navier-Stokes-probleem waar wiskundigen echt om geven niet, en zal dat ook nooit doen.
De formulering van het Clay Institute
Het heeft echter wel ondubbelzinnig het probleem opgelost volgens de oorspronkelijke formulering van het Clay Institute. De officiële probleemstelling, in 2000 opgesteld door wiskundige Charles Fefferman, biedt een optie aan, genaamd „C”, waarin oplossingen het gebruik van een externe kracht mogen bevatten, zoals die van OpenAI.
Nu worstelen vloeistofdynamici met een mogelijkheid die weinigen eerder hadden overwogen: het idee dat de Navier-Stokes-vergelijkingen kunnen ontploffen, maar alleen met een externe kracht. In dit scenario kun je een vloeistof wiskundig gezien in een specifieke, onrealistische situatie plaatsen om de vergelijkingen te breken, maar de blowup kan nooit voortkomen uit de vloeistof zelf.
„Het is op dit moment echt onzeker,” zegt wiskundige Gonzalo Cao-Labora. „Afhankelijk van het antwoord hierop, denk ik dat de bijdrage van OpenAI anders zal worden gewaardeerd.” Als dit waar blijkt te zijn, voegt hij eraan toe, „zullen mensen waarschijnlijk naar het Clay-probleem kijken en zeggen: 'We hadden de externe kracht niet in de probleemstelling moeten zetten'.”
Mensen versus machines
Dit zou zelfs goed nieuws kunnen zijn voor „team mensheid”. LLM's zijn uitmuntend in het vinden van blowups die reeds bestaan — in het doorzoeken van het oneindige landschap van vloeistofscenario's en het eruit pikken van de precieze situatie die de vergelijkingen breekt. Maar bewijzen dat een blowup onmogelijk is, is een soort wiskunde waar AI nog steeds mee worstelt.
„We zijn mogelijk minder benadeeld, of misschien zelfs in het voordeel ten opzichte van LLM's,” zegt Cao-Labora. „LLM's zijn vooral goed in het construeren van zaken die zeer expliciet zijn, en voorlopig minder goed in het creëren van nieuwe theorie.”
Ongeacht of de weg naar de oplossing van het volledige Navier-Stokes-probleem een slimme nieuwe blowup vereist of een volledig nieuwe wiskundige discipline, wordt iedereen terughoudender om in te zetten tegen de machines.
„We zijn echt verbijsterd door hoe de technologie in het afgelopen jaar is geëvolueerd — we weten dus niet hoe het er over een jaar uit zal zien,” zegt Cao-Labora. „Het is echt een wake-up call voor de gemeenschap.”
Heeft OpenAI het verkeerde Navier-Stokes-probleem opgelost?
OpenAI’s oplossing maakt gebruik van een externe kracht om de Navier-Stokes-vergelijkingen te 'breken', vergelijkingen die bedoeld zijn om te beschrijven hoe vloeistoffen, zoals water, stromen.
Twee weken geleden claimde OpenAI een oplossing te hebben gevonden voor een van de grootste open problemen in de wiskunde: het Navier-Stokes-probleem. Een prestatie die een prijs van 1 miljoen dollar van het Clay Mathematics Institute oplevert. Het bewijs ontketende een golf van bezorgdheid over de race van kunstmatige intelligentiebedrijven om het vakgebied te ontregelen.
Maar terwijl de stof nog niet is neergedaald, ontstaat er een andere controverse: heeft OpenAI überhaupt het juiste Navier-Stokes-probleem opgelost?
Het bewijs, gegenereerd door een intern groot taalmodel (LLM), rust op een benadering die veel experts als onnatuurlijk beschouwen. Het lost een variant van het probleem op waarvan wiskundigen zeggen dat deze losstaat van de realiteit en daarom minder interessant is. In zekere zin heeft het LLM een hiaat in de formulering van de vraag gevonden en uitgebuit.
„Het belangrijkste probleem is onopgelost,” zegt Luis Silvestre, een wiskundige aan de Universiteit van Chicago. „Het Clay-probleem is afgehandeld, maar het hoofdprobleem voor de Navier-Stokes-vergelijkingen is dat niet.”
Bovendien plaatsten drie wiskundigen afgelopen donderdag een eigen bewijs dat aantoont dat de methode van OpenAI nooit kan worden uitgebreid om het volledige probleem op te lossen. Met andere woorden: het hiaat zal nooit worden gedicht, tenzij er een volledig nieuw idee wordt geïntroduceerd.
De aard van de Navier-Stokes-vergelijkingen
De Navier-Stokes-vergelijkingen zijn bedoeld om te beschrijven hoe vloeistoffen stromen, maar wiskundigen twijfelen of ze altijd vertrouwd kunnen worden. Het miljoen-dollar-probleem draait om de vraag of de vergelijkingen ooit kunnen „ontploffen” (blow up), wat zou betekenen dat ze toestaan dat de stroming op bepaalde punten oneindig snel wordt — iets wat in de echte wereld niet kan gebeuren.
Er is echter één onderdeel van de vergelijkingen dat optioneel is: een externe kracht, zoals zwaartekracht, die beïnvloedt hoe een vloeistof beweegt. „Alle vloeistoffen die we kennen, staan onder een of andere vorm van externe kracht,” zegt wiskundige Diego Córdoba. „Dus het meerekenen van die kracht is volkomen logisch.”
Wanneer de meeste experts echter denken aan het Navier-Stokes-probleem, doen ze dat zonder deze kracht. Ze willen een zuiverdere, fundamentalere manier vinden waarop de vergelijkingen kunnen ontploffen door enkel gebruik te maken van de intrinsieke krachten binnen elke vloeistof — niet door een specifieke, nauwgezet ontworpen externe kracht toe te passen. „De meeste andere groepen richtten zich inderdaad specifiek op het scenario zonder kracht,” zegt wiskundige Luis Martínez-Zoroa.
Het gebruik van AI en het ontdekte hiaat
In de afgelopen jaren hebben Córdoba en Martínez-Zoroa hun focus volledig gelegd op dit nichegedeelte van de vergelijkingen en een methode ontwikkeld om een zeer specifieke externe kracht te bouwen die een 'blowup' triggert. Op 7 september gebruikten twee andere wiskundigen hun programma (en AI) om een blowup te produceren voor een wrijvingsloze vloeistof — wat werd beschouwd als een grote stap richting het ontploffen van Navier-Stokes. OpenAI voltooide het werk minder dan een dag later, een timing die heeft geleid tot een verhit geschil tussen de genoemde wiskundigen en het bedrijf.
Het nieuwe werk dat afgelopen donderdag werd gepubliceerd, laat echter onomstotelijk zien dat als de externe kracht wordt verwijderd, de blowup verdwijnt. De methode van OpenAI kan in feite nooit werken zonder het gebruik van een zeer kunstmatige vergelijking voor de kracht die in niets lijkt op wat er in de echte wereld zou kunnen gebeuren. „Ze bewijzen in feite dat de formulering met een externe kracht verschilde van het probleem dat we echt wilden oplossen,” zegt Silvestre.
In andere woorden: het resultaat van het LLM beantwoordt het Navier-Stokes-probleem waar wiskundigen echt om geven niet, en zal dat ook nooit doen.
De formulering van het Clay Institute
Het heeft echter wel ondubbelzinnig het probleem opgelost volgens de oorspronkelijke formulering van het Clay Institute. De officiële probleemstelling, in 2000 opgesteld door wiskundige Charles Fefferman, biedt een optie aan, genaamd „C”, waarin oplossingen het gebruik van een externe kracht mogen bevatten, zoals die van OpenAI.
Nu worstelen vloeistofdynamici met een mogelijkheid die weinigen eerder hadden overwogen: het idee dat de Navier-Stokes-vergelijkingen kunnen ontploffen, maar alleen met een externe kracht. In dit scenario kun je een vloeistof wiskundig gezien in een specifieke, onrealistische situatie plaatsen om de vergelijkingen te breken, maar de blowup kan nooit voortkomen uit de vloeistof zelf.
„Het is op dit moment echt onzeker,” zegt wiskundige Gonzalo Cao-Labora. „Afhankelijk van het antwoord hierop, denk ik dat de bijdrage van OpenAI anders zal worden gewaardeerd.” Als dit waar blijkt te zijn, voegt hij eraan toe, „zullen mensen waarschijnlijk naar het Clay-probleem kijken en zeggen: 'We hadden de externe kracht niet in de probleemstelling moeten zetten'.”
Mensen versus machines
Dit zou zelfs goed nieuws kunnen zijn voor „team mensheid”. LLM's zijn uitmuntend in het vinden van blowups die reeds bestaan — in het doorzoeken van het oneindige landschap van vloeistofscenario's en het eruit pikken van de precieze situatie die de vergelijkingen breekt. Maar bewijzen dat een blowup onmogelijk is, is een soort wiskunde waar AI nog steeds mee worstelt.
„We zijn mogelijk minder benadeeld, of misschien zelfs in het voordeel ten opzichte van LLM's,” zegt Cao-Labora. „LLM's zijn vooral goed in het construeren van zaken die zeer expliciet zijn, en voorlopig minder goed in het creëren van nieuwe theorie.”
Ongeacht of de weg naar de oplossing van het volledige Navier-Stokes-probleem een slimme nieuwe blowup vereist of een volledig nieuwe wiskundige discipline, wordt iedereen terughoudender om in te zetten tegen de machines.
„We zijn echt verbijsterd door hoe de technologie in het afgelopen jaar is geëvolueerd — we weten dus niet hoe het er over een jaar uit zal zien,” zegt Cao-Labora. „Het is echt een wake-up call voor de gemeenschap.”
Groetjes,