Als wiskunde meer is dan bewijzen, moeten we de rest ervan beter vieren

Een gevoel dat momenteel door de wiskundige gemeenschap klinkt, is dat het oplossen van problemen en het genereren van bewijzen altijd hebben gediend als proxies voor het werkelijke doel van wiskundigen, namelijk het bevorderen van het menselijk begrip. Wanneer bewijzen kunnen worden gegenereerd zonder dat begrip, ondermijnt dit hun waarde als proxy.

Dit roept onmiddellijk een vraag op: welke andere proxies zouden we in plaats daarvan moeten gebruiken?

Ik wil voorstellen dat we een begrip van een "gemotiveerde uitleg" (motivated explanation) steviger definiëren en dat we vernieuwende en overtuigende gemotiveerde uitleggen een academische erkenning geven die vergelijkbaar is met wat het genereren van nieuwe bewijzen voor open problemen historisch gezien heeft gehad.

Verder geloof ik dat dit een belangrijke stap is om mensen buiten de wiskunde beter te laten begrijpen wat wiskundigen precies bijdragen. Als buitenstaanders geloven dat bewijs-genererende machines wiskundigen overbodig maken, terwijl binnenstaanders dat zien als een misvatting over wat onderzoekers toevoegen, is het de taak van deze gemeenschap om haar ware waarden beter uit te stralen via het soort werk dat zij beloont. Buitenstaanders kunnen worden vergeven voor dit misverstand als het meest gevierde werk zwaar neigt naar het genereren van bewijzen, terwijl verduidelijking en expositie als tweederangs worden behandeld.

Ik moet vooraf een duidelijke persoonlijke bias erkennen. Ik heb een niet-traditionele carrière in de wiskunde, gericht op het maken van video's over het onderwerp. Dit deelt het doel van het "bevorderen van het menselijk begrip", maar mijn focus heeft gelegen op uitleg en intuïties die resoneren met het publiek, niet op het oplossen van openstaande problemen. Een cynicus zou dit voorstel gemakkelijk kunnen lezen als schaamteloze zelfpromotie.

Als praktische kwestie bestaan mijn eigen carrière en financiering echter buiten de academische wereld, en ik heb geen direct belang bij waar deze gemeenschap erkenning aan toekent. Bovendien bedoel ik met het voorstel om de status van gemotiveerde uitleg te verhogen niet popularisering. Ik bedoel elk werk dat primair tot doel heeft de vraag te beantwoorden: "Hoe zou je daarop komen?", zelfs als het onderwerp diepe expertise vereist om gewaardeerd te worden.

De voorbeelden die ik hieronder belicht, laten zien dat dit niets nieuws is. Praktiserende wiskundigen besteden al een aanzienlijk deel van hun denkkracht aan dit soort werk. Het voorstel hier is voornamelijk om 1) dit werk duidelijker te definiëren, en 2) de status ervan te verhogen.

Wat definieert een gemotiveerde uitleg?

Hoewel het misschien duidelijk is wat bedoeld wordt met de term "gemotiveerde uitleg", is het de moeite waard om deze kort te contrasteren met een bewijs.

• In een bewijs staan de definities aan het begin. Het is gebruikelijk en verwacht om te beginnen met een nieuwe constructie en vervolgens de eigenschappen ervan te analyseren.
• In een gemotiveerde uitleg staan de definities in het midden. Nieuwe constructies mogen pas in het vocabulaire worden opgenomen als het probleem dat ze adresseren duidelijk is vastgesteld.
• In een bewijs moeten alle beweringen correct zijn; elke claim volgt als een noodzakelijke implicatie uit wat eraan voorafging.
• In een gemotiveerde uitleg is het acceptabel en vaak wenselijk om te beginnen met een idee dat niet helemaal juist is en correctie behoeft, maar waarvan de oorsprong herkenbaar is.

Een genre van gemotiveerde uitleg waar ik van houd is "ontdekkingsfictie" (discovery fiction), een term gemunt door Michael Nielsen. Je ontwikkelt een idee met een narratief dat begint met een eenvoudige-maar-foutieve oplossing voor een probleem, kijkt waar het tekortschiet, lost dat probleem op, ontdekt een nieuw probleem, enzovoort.

• Het doel van een bewijs is om uit te leggen waarom een bepaald theorema waar is.
• Het doel van een gemotiveerde uitleg is niet alleen om te verduidelijken waarom een theorema waar is, maar ook waarom het theorema in de eerste plaats het juiste is om te stellen, en hoe het wordt gebruikt in de omringende context.

Een duidelijk tekortkoming van een gemotiveerde uitleg is dat de validiteit ervan niet binair is, zoals die van een bewijs dat wel is. Dit is een belangrijke reden waarom een bewijs zo nuttig is als manier om voortgang te meten: je kunt duidelijk definiëren wat wel en wat nog niet bewezen is. Er zal nooit een "Lean" (bewijsverificatiesoftware) zijn voor gemotiveerde uitleg.

Als we serieus zijn over het doel om het menselijk begrip te bevorderen, is er geen ontkomen aan het feit dat dit doel intrinsiek "vager" is dan dat van het vinden van bewijzen, omdat het definiëren van menselijk begrip zelf vager is. Wegmijden van metrieken die subjectiever zijn, is hetzelfde als het wegmijden van de meer menselijke aspecten van het vakgebied.

De reden dat ik leun op het woord "gemotiveerd", in tegenstelling tot andere mogelijke keuzes zoals "helder" of "demystificerend", is dat dit een beter verifieerbare eigenschap is. Het is niet zo rigide verifieerbaar als een bewijs; bijna niets is dat. Maar het is voldoende als praktische maatstaf. In mijn eigen werk herhaal ik vaak de zin: "Ik wil dat het voelt alsof je het zelf had kunnen ontdekken". Ik zeg dit niet alleen om de kijker te pleasen, maar omdat het een actievolle richtlijn voor mijzelf is om te beoordelen of een uitleg compleet voelt of niet. Voor elk nieuw geïntroduceerd idee kun je vragen of het duidelijk is waar dat idee vandaan komt. Het antwoord is niet strikt een binair ja of nee, maar het komt daar voor praktische doeleinden dicht genoeg bij.

Voorbeelden van gemotiveerde uitleg

Een van de beste verzamelingen van gemotiveerde uitleg die ik kan bedenken is Deel IV van de Princeton Companion to Mathematics. Het behandelt meer dan twee dozijn actieve onderzoeksvelden, elk geïntroduceerd door een expert met talent voor heldere communicatie. Of het nu gaat om Andrew Granville die de analytische getaltheorie uitlegt, of David Ben-Zvi die moduli-ruimtes introduceert, deze artikelen bieden een niveau van intuïtie en motivatie dat normaliter alleen voorkomt in een één-op-één gesprek bij een schoolbord.

De achtergrond van dit boek is noteworthy voor de huidige discussie. Het werd geredigeerd door Timothy Gowers, die hierover spreekt in zijn interview in de Numberphile Podcast met Brady Haran. Toen hem werd gevraagd welke impact de Fields-medaille op zijn leven had, zei hij het volgende:

"Mensen die een Fields-medaille hebben gekregen, voelen zich vrijer om iets anders te doen... bijvoorbeeld nam ik het redigeren op me van een boek genaamd de Princeton Companion to Mathematics, wat een absoluut enorme taak was. Ik schat dat het ongeveer de helft van mijn werktijd in beslag nam voor ongeveer vijf jaar of zo... Het was een project waar ik in geloofde en dat ik waarschijnlijk niet aangeboden had gekregen als ik geen Fields-medailleur was geweest."

Hij had gelijk om erin te geloven; dit werk voegt enorme waarde toe aan het vakgebied wiskunde, maar het lijkt me jammer dat men een Fields-medaille nodig heeft om zich gerechtvaardigd te voelen tijd hieraan te besteden.

Een ander voorbeeld van iemand die uitzonderlijk getalenteerd was in het schrijven van bewijzen, maar wiens bijdragen veel verder gingen dan bewijzen, is Bill Thurston. Zijn beroemde essay On Proof and Progress in Mathematics, hoewel geschreven drie decennia vóór LLM's, begint met de suggestie dat de juiste formulering van de vraag "Wat presteren wiskundigen?" is om te vragen "Hoe bevorderen wiskundigen het menselijk begrip van wiskunde?".

Hier is een sectie die oncanny resoneert met vandaag:

"De snelle vooruitgang van computers heeft geholpen dit punt te dramatiseren, omdat computers en mensen zeer verschillend zijn. Wanneer Appel en Haken bijvoorbeeld een bewijs van het vier-kleurentheorema voltooiden met behulp van een massieve automatische berekening, riep dit veel controverse op. Ik interpreteer de controverse als iets dat weinig te maken had met twijfel over de waarheid van het theorema of de correctheid van het bewijs. In plaats daarvan weerspiegelde het een aanhoudend verlangen naar menselijk begrip van een bewijs, naast de kennis dat het theorema waar is.

Op een alledaagser niveau is het gebruikelijk dat mensen die voor het eerst met computers werken, grootschalige berekeningen maken van zaken die ze op kleinere schaal met de hand hadden kunnen doen. Ze printen misschien een tabel van de eerste 10.000 priemgetallen, om er vervolgens achter te komen dat die printout niet is wat ze werkelijk wilden. Ze ontdekken door dit soort ervaringen dat wat ze echt willen meestal geen verzameling 'antwoorden' is—wat ze willen is begrip."

Het essay zelf biedt een prachtige articulatie van wat het beoefenen van wiskunde is buiten het genereren van bewijzen. Ik wil uw aandacht vestigen op wat hij aan het einde schrijft:

"Ik heb veel moeite gestoken in activiteiten die geen credits opleveren maar die ik net zo waardeer als het bewijzen van theorema's: wiskundige politiek, het herzien van mijn aantekeningen tot een boek met een hoge standaard van communicatie, exploratie van computing in de wiskunde, wiskundig onderwijs, ontwikkeling van nieuwe vormen voor communicatie van wiskunde via het Geometry Center (zoals ons eerste experiment, de 'Not Knot'-video), het leiden van MSRI, enz."

Opnieuw: waarom zouden deze "activiteiten die geen credits opleveren" moeten volgen op een Fields-medaille, in plaats van eraan bij te dragen?

Op persoonlijke wijze had één product van het Geometry Center waar hij naar verwees een bijzonder betekenisvolle impact op mij toen ik jonger was. Het was een korte film genaamd Outside In, wellicht het vroegste voorbeeld van een virale video over substantiële wiskunde, die het kernidee visualiseerde van Thurstons eigen constructie voor sfeerverkering (sphere eversion).

Een origineel bewijs dat aantoont dat een verkering moet bestaan, zoals dat van Smale, bevordert het menselijk begrip in de zin van gaan van 0 naar 1. Een video zoals deze, die miljoenen mensen betrekt bij het onderliggende idee, bevordert het in de zin van gaan van 1 naar N. Ik ben dankbaar dat Thurston zoveel tijd heeft besteed aan deze "niet-credit-producerende" activiteit.

Een ander relevant artikel is A beginner’s guide to forcing van Timothy Chow. Niet alleen biedt het artikel zelf een uitstekend voorbeeld van een gemotiveerde uitleg, maar de introductie biedt ook nuttig vocabulaire hieromheen.

"Alle wiskundigen zijn bekend met het concept van een open onderzoeksprobleem. Ik stel het minder bekende concept voor van een open expositieprobleem. Het oplossen van een open expositieprobleem betekent het uitleggen van een wiskundig onderwerp op een manier die het totaal transparant maakt. Elke stap moet gemotiveerd en duidelijk zijn; idealiter zouden studenten moeten voelen dat ze zelf bij de resultaten hadden kunnen komen."

Hoe zou het eruitzien als deze open expositieproblemen op dezelfde manier werden behandeld als open onderzoeksproblemen? In een extreem geval zouden we ons kunnen voorstellen dat er een analoog bestaat van de Millennium Prize Problems voor open expositieproblemen. Een instituut of groep onderzoekers zou formeel wiskundige resultaten definiëren die zij als belangrijk beschouwen, en die nog niet goed begrepen worden ondanks het feit dat er technisch gezien bewijzen voor zijn. Op dit moment is elk door AI gegenereerd bewijs bijgeboorte een onopgelost expositieprobleem. Daarom lijkt het waarschijnlijk dat de komende jaren een vloedgolf hiervan zal volgen, en het zal waardevol zijn voor leiders om te verduidelijken welke daarvan focus verdienen.

Er zou een rubric overeengekomen moeten worden voor wat constitutes een oplossing voor een belangrijk onopgelost expositieprobleem. Opnieuw: dit is intrinsiek subjectiever dan het verifiëren van een bewijs, maar elke serieuze omgang met de menselijkere aspecten van wiskunde betreedt noodzakelijkerwijs dit soort subjectiviteit. En wederom benadruk ik dat controleren of kernideeën gemotiveerd zijn, niet veel verschilt van controleren of de stappen van een bewijs logisch volgen.

Als de wereld buiten de wiskunde ziet dat de leidende figuren open expositieproblemen met dezelfde ernst behandelen als open onderzoeksproblemen, zou dat een grote stap kunnen zijn in het corrigeren van misvattingen over de rol van wiskundigen.

Het laatste voorbeeld dat ik belicht is een voorbeeld dat wellicht beter voorspelt wat er komen gaat.

In april van dit jaar diende Liam Price een oplossing in voor Erdős Probleem 1196, soms de asymptotic primitive sets conjecture genoemd. De oplossing kwam voort uit Price's interactie met GPT-5.4 Pro. In tegenstelling tot veel eerdere Erdős-problemen die met hulp van AI waren opgelost, is dit er een die men in het vakgebied zowel belangrijk als ongrijpbaar vond. Verhalen als deze worden tegenwoordig steeds gebruikelijker, maar op dit punt in het verhaal was, ondanks het feit dat er technisch gezien een bewijs bestond, het menselijk begrip nog niet veel vooruitgegaan.

Het bewijs kwam terecht bij Nat Sothanaphan en Jared Lichtman, die in staat waren te interpreteren wat de aanpak van de AI was en het bewijs op te schonen tot een mensleesbare vorm. In mei publiceerden Boris Alexeev, Kevin Barreto, Yanyang Li, Jared Duker Lichtman, Liam Price, Jibran Iqbal Shah, Quanyu Tang en Terence Tao een paper die het kernidee achter het bewijs verder uitwerkte. De auteurs legden uit hoe dat kernidee niet alleen het oorspronkelijke probleem verduidelijkte, maar ook veel problemen eromheen, bijvoorbeeld door een schoner bewijs te bieden voor de Erdős Primitive Set Conjecture.

De waarde hier is niet dat er één Erdős-probleem meer is afgevinkt als opgelost. De waarde ligt in het feit dat ons begrip van primitieve sets nu merkbaar schoner en bevredigender is dan aan het begin van 2026. De oorspronkelijke oplossing van het probleem speelde hierin een rol, maar naar mijn mening verdient het werk dat dit kernidee uitbreidt, verduidelijkt en contextualiseert meer viering.

Praktische oproepen tot actie

Op pragmatisch niveau: hoe zou het eruitzien als we de status van een gemotiveerde uitleg verhogen? Hier zijn een paar suggesties.

• Een PhD-begeleider kan nog steeds een klein probleem uit hun vakgebied toewijzen aan een nieuwe student om op te oefenen, maar het resultaat zou niet het uitschrijven van een oplossing zijn; het zou zijn om die oplossing als een presentatie aan collega's en faculteit te presenteren. Het zou een al opgelost probleem kunnen zijn dat aan helderheid ontbeert, of misschien een probleem dat geen oplossing heeft en waarbij de student AI gebruikt om te helpen deze te vinden. In beide gevallen weet de student dat hij op een bepaalde datum het probleem goed genoeg moet begrijpen om het uit te leggen, en dat het gewenste resultaat is dat anderen het ook begrijpen. Kortom: zelfs kleine problemen zouden kunnen worden behandeld als kleine PhD-verdedigingen.
• Een leidende figuur (hoest, Terry, hoest) zou een moderne analoog van de problemen van Hilbert kunnen opstellen, maar dan specifiek gericht op onopgeloste expositieproblemen. Welke gebieden zijn zowel belangrijk als tekortschietend in het diepere begrip dat we wensen?
• Geschreven standaarden zouden kunnen verduidelijken wat een gemotiveerde uitleg constitueert, met als doel deze bijna net zo verifieerbaar te maken als een bewijs, zodat de oplossing van onopgeloste expositieproblemen op dezelfde manier herkend en gevierd kan worden als bewijzen van open problemen.
• Er kunnen tijdschriften worden opgericht die zich explicieter richten op het breder begrijpelijk maken van resultaten binnen de wiskundige gemeenschap. Mathematical Discourse biedt een interessant nieuw voorbeeld in deze richting.
• Beslissingen over aanname en tenure zouden een hogere waarde kunnen toekennen aan het schrijven van geweldige tekstboeken en soortgelijk werk. Denk aan de AMS Steele Prize for Exposition, maar op een granulairer niveau met nadruk op bijdragen van beginnende carrière-onderzoekers in deze richting.

De waarde van zichtbare cultuurverschuivingen

Ik wil afsluiten met een breder pleidooi dat zichtbare cultuurverschuivingen in de wiskunde op dit moment een intrinsiek voordeel bieden met betrekking tot het externe imago van wiskunde als carrière.

Veel jonge studenten die anders gepassioneerd zijn over het vakgebied, zijn nu bang om het te volgen vanwege de onzekerheid over wat er gebeurt in een tijdperk van bewijs-genererende machines. Echter, correct geframed, is dit een van de meest opwindende momenten om het vakgebied in te stappen, omdat er niets spannender is dan een vakgebied betreden wanneer het kneedbaar is en je de kans hebt om actief vorm te geven aan hoe het er in de toekomst uit zal zien. Zelfs als we alle potentiële voordelen van AI bij ons begrip volledig buiten beschouwing laten, zouden jonge prospective wiskundigen zich energiek moeten voelen in de wetenschap dat ze instromen op een uniek punt in de geschiedenis, waarbij ze een echte rol kunnen spelen in het bepalen van hoe het vakgebied als geheel eruitziet.

Verandering als deze is echter alleen opwindend wanneer het doelbewust voelt; het voelt beangstigend als het gedreven lijkt te worden door krachten buiten je controle. Daarom zullen tastbare acties van de leiders van het vakgebied nu, om te helpen definiëren en verduidelijken wat het vakgebied is, jonge nieuwkomers geruststellen over wie er aan het stuur zit, en dat de status van de carrière niet afhangt van welke entiteiten de bewijzen produceren.

Hetzelfde geldt voor financiering: ik geloof dat dit een van de beste momenten is om wiskunde te financieren. Als het volgende hoofdstuk van de wiskunde wordt ingeleid door de cadans van twee woorden—"menselijk begrip"—dan lijken alle veranderingen die gaan plaatsvinden de waarde van wiskunde als publiek goed enkel te vergroten.