Dit artikel bespreekt de historische en wiskundige relatie tussen André Weil en het Hodge-vermoeden. Hoewel Weil een cruciale rol speelde in het moderniseren en structureren van de Hodge-theorie via zijn publicaties, bleef hij fundamenteel sceptisch over de juistheid van het vermoeden zelf.
Centraal in het artikel staat de constructie van de Weil-klassen. Weil realiseerde zich dat bepaalde symmetrieën in abelse variëteiten leidden tot Hodge-klassen die niet noodzakelijkerwijs overeenkwamen met algebraïsche cycli. Hoewel hijzelf geen definitief tegenvoorbeeld slaagde in het construeren, vormden zijn inzichten een basis voor later werk van wiskundigen als Benedict Gross en Pierre Deligne.
De tekst concludeert dat de aanhoudende onmogelijkheid om te bewijzen dat Weil-Hodge-klassen algebraïsch zijn, het vertrouwen in het vermoeden heeft ondermijnd. Tot slot wordt een link gelegd naar de huidige tijd, waarbij wordt gesuggereerd dat AI-systemen van OpenAI mogelijk tegenvoorbeelden hebben gevonden die Weil destijds zocht.
André Weil en het Hodge-vermoeden
Er wordt gezegd dat OpenAI zeer mogelijk een tegenvoorbeeld voor het Hodge-vermoeden heeft geconstrueerd. André Weil was een van de eerste wiskundigen die aan het Hodge-vermoeden twijfelde en probeerde tegenvoorbeelden te construeren; hij was wellicht een van hen die hier het dichtst bij kwamen.
De relatie tussen Weil en Hodge
Weil had in werkelijkheid weinig direct contact met Hodge zelf. De vroegste verslagen stammen uit 1947, toen Weil in een brief aan H. Cartan vermeldde dat hij het boek van Hodge bestudeerde en probeerde dit toe te passen op algebraïsche variëteiten.
Hoewel Weil het belang van de Hodge-theorie sterk erkende, bekritiseerde hij tegelijkertijd de notatie ervan scherp, die volgens hem leek op "een verschrikkelijke salade van tensoren". Tien jaar later schreef Weil Introduction à l’étude des variétés kählériennes. In dit werk herschreef en organiseerde hij de Kähler-Hodge-technieken in een helderdere taal, met als doel "het begrip van de lezer te vergemakkelijken".
De notatie en organisatie van de Hodge-theorie in haar moderne vorm werden voor een groot deel vastgelegd in het boek van Weil. Na zijn overlijden werd het boek in zijn overlijdensbericht aangemerkt als de eerste moderne uiteenzetting van de Hodge-theorie.
De Fields-medaille
Tijdens de uitreiking van de eerste naoorlogse Fields-medaille behoorde Hodge tot de commissieleden die het sterkst bepleitten om de prijs aan Weil toe te kennen, waarbij hij waarschuwde dat ze anders "hun plicht zouden verzaken". Zijn inspanningen waren uiteindelijk niet succesvol. Misschien om toekomstige commissies te behoeden voor hetzelfde dilemma, kreeg de Fields-medaille later de bekende leeftijdsgrens van veertig jaar.
Op het Internationaal Congres van Wiskundigen (ICM) waar de prijzen werden uitgereikt, gaf Weil een plenaire lezing waarin hij een verenigd perspectief presenteerde op getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Hiermee vatte hij veel samen en anticipeerde hij op ontwikkelingen in de algebraïsche meetkunde van de volgende decennia. Vijf dagen later presenteerde Hodge in een andere lezing de oorspronkelijke versie van het Hodge-vermoeden.
De vroege visie op het vermoeden
Het vroege Hodge-vermoeden leek een natuurlijke extrapolatie van het (1,1)-theorema van Lefschetz, waardoor er aanvankelijk weinig redenen waren om eraan te twijfelen. Lefschetz had het geval $(p=1)$ al opgelost, en alle Hodge-klassen van graad 2 komen voort uit divisoren. Als de gehele Hodge-ring van een variëteit dus gegenereerd zou worden door Hodge-klassen van graad 2, zou het Hodge-vermoeden automatisch volgen.
In de jaren zestig probeerden Mumford en Tate precies deze route te volgen. Helaas vond Mumford een tegenvoorbeeld dat deze aanpak blokkeerde: de zogenaamde uitzonderlijke Hodge-klassen. Het voorbeeld betreft een abelse vier-variëteit van CM-type ($A$) die Hodge-klassen van type $(2,2)$ bezit die niet geschreven kunnen worden als producten van divisoren.
De constructie van de Weil-klassen
Wat daarna gebeurde, is bekend uit een brief die Tate aan Serre schreef. In 1965 vertelde Tate Weil over dit tegenvoorbeeld. Weil realiseerde zich snel dat dit voorbeeld in wezen slechts een specifiek geval was van een vierdimensionale familie van voorbeelden.
Hij overwoog vervolgens een klasse van speciale abelse variëteiten met een aanvullende symmetrie van een imaginair kwadratisch lichaam. Deze symmetrie verdeelt de complexe richtingen gelijkmatig in twee groepen. Door het product van deze richtingen over het imaginair kwadratisch lichaam te nemen, ontstaat een tweedimensionale rationele cohomologie-onderruimte. Het feit dat de twee groepen even groot zijn, zorgt ervoor dat deze ruimte van type $(n,n)$ is, en dus een tweedimensionale Hodge-klassenruimte is: dit werden later de Weil-klassen genoemd.
Deze Weil-klassen ontstaan automatisch uit symmetrie en lineair-algebraïsche structuur, zonder dat men vooraf kennis hoeft te hebben van een corresponderende algebraïsche subvariëteit. Weil begon daarom aan het vermoeden te twijfelen: als deze klassen op deze manier automatisch door symmetrie gegenereerd kunnen worden, waarom zouden ze dan noodzakelijkerwijs corresponderen met echte algebraïsche cycli? Als zelfs één Weil-klasse niet zou corresponderen met een algebraïsche cyclus, zou het Hodge-vermoeden worden weerlegd. Op deze manier generaliseerde Weil een tegenvoorbeeld voor één mogelijke bewijsstrategie tot een mogelijk tegenvoorbeeld voor het vermoeden zelf.
Weil zei daarop tegen Tate:
"Aangezien jij en Mumford het Hodge-vermoeden lijken te geloven, is het nu aan jullie om algebraïsche cycli te vertonen die corresponderen met deze abnormale klassen. Omdat ik geneigd ben het niet te geloven, zal ik eerder proberen aan te tonen dat er geen dergelijke cyclus bestaat."
Weil begon vervolgens met het construeren van een tegenvoorbeeld. Deze pogingen waren niet succesvol; anders zou het vermoeden later niet tot een van de Millennium Prize Problems zijn geworden.
De methodiek van Weil
Dit proces leek sterk op het werk van Weil aan de Mordell/Riemann-vermoedens, en zelfs aan de Fermat- en Langlands-vermoedens. Wanneer hij geconfronteerd werd met deze grote vermoedens, kon hij ofwel een initiële doorbraak forceren die niemand in een eeuw had bereikt, ofwel onmiddellijk het belang van een vermoeden (of een specifieke route naar de oplossing) herkennen voor de toekomstige ontwikkeling van de wiskunde, en daarmee helpen de koers van het vakgebied als geheel te bepalen. Hoewel hij uiteindelijk meestal niet de definitieve oplosser van deze problemen was, is Weil wellicht precies het type wiskundige dat in het AI-tijdperk het meest nodig is.
Interactie met Gross en Deligne
Volgens de herinneringen van Benedict Gross besprak Weil ongeveer tien jaar later, tijdens een conferentie ter ere van de zeventigste verjaardag van Ahlfors, nog steeds op een provocerende manier hoe men het Hodge-vermoeden zou kunnen aanvallen.
Gross, die toen nog aan het begin van zijn carrière stond, zat in het publiek en probeerde de ideeën van Weil aan te passen om een periode-identiteit te bewijzen die gerelateerd was aan de Chowla-Selberg-formule. Al snel werkte hij dit argument uit tot een artikel. Tijdens dezelfde conferentie introduceerde Serre hem aan Deligne, waarna Gross dit resultaat, verkregen door de ideeën van Weil aan te passen, uitlegde.
Deligne was versteld en vroeg aan Gross: "Heb je het Hodge-vermoeden bewezen?" Gross antwoordde vrolijk dat hij daar zeker blij mee zou zijn als dat echt het geval was. Hij was nog op zoek naar een onderwerp voor zijn PhD-thesis, en het bewijzen van het Hodge-vermoeden zou vermoedelijk voldoende zijn voor een proefschrift.
Een paar weken later stuurde Deligne Gross een manuscript van drie pagina's. Dat manuscript ontwikkelde zich uiteindelijk tot het beroemde resultaat dat alle Hodge-cycli op abelse variëteiten absoluut Hodge zijn.
Conclusie en reflectie
Toen Milne deze geschiedenis besprak, merkte hij op dat abelse variëteiten, in relatie tot de twijfels van Weil, oorspronkelijk als een van de makkelijkere gevallen van het Hodge-vermoeden hadden moeten tellen. Toch kon de wiskundige gemeenschap na vijftig jaar nog steeds niet bewijzen dat deze Weil-Hodge-klassen algebraïsch zijn. Dit heeft overduidelijk veel bijgedragen aan het verzwakken van het vertrouwen van wiskundigen in het Hodge-vermoeden.
Wat betreft de mogelijkheid dat OpenAI een tegenvoorbeeld voor het Hodge-vermoeden heeft geconstrueerd, zijn de woorden van Weil zelf wellicht bijzonder toepasselijk:
“La question que pose la ‘conjecture de Hodge’ est bien naturelle… Par malheur, en d´epit du mot de ‘conjecture’, il n’y a, que je sache, pas l’ombre d’une raison d’y croire; on rendrait service aux g´eom`etres si l’on pouvait trancher la question au moyen d’un contre-exemple.”
(De vraag die het 'Hodge-vermoeden' stelt is zeer natuurlijk... Helaas is er, ondanks het woord 'vermoeden', voor zover ik weet, geen geringste reden om erin te geloven; men zou geometristen een dienst bewijzen als de kwestie beslecht zou kunnen worden middels een tegenvoorbeeld.)
André Weil en het Hodge-vermoeden
Er wordt gezegd dat OpenAI zeer mogelijk een tegenvoorbeeld voor het Hodge-vermoeden heeft geconstrueerd. André Weil was een van de eerste wiskundigen die aan het Hodge-vermoeden twijfelde en probeerde tegenvoorbeelden te construeren; hij was wellicht een van hen die hier het dichtst bij kwamen.
De relatie tussen Weil en Hodge
Weil had in werkelijkheid weinig direct contact met Hodge zelf. De vroegste verslagen stammen uit 1947, toen Weil in een brief aan H. Cartan vermeldde dat hij het boek van Hodge bestudeerde en probeerde dit toe te passen op algebraïsche variëteiten.
Hoewel Weil het belang van de Hodge-theorie sterk erkende, bekritiseerde hij tegelijkertijd de notatie ervan scherp, die volgens hem leek op "een verschrikkelijke salade van tensoren". Tien jaar later schreef Weil Introduction à l’étude des variétés kählériennes. In dit werk herschreef en organiseerde hij de Kähler-Hodge-technieken in een helderdere taal, met als doel "het begrip van de lezer te vergemakkelijken".
De notatie en organisatie van de Hodge-theorie in haar moderne vorm werden voor een groot deel vastgelegd in het boek van Weil. Na zijn overlijden werd het boek in zijn overlijdensbericht aangemerkt als de eerste moderne uiteenzetting van de Hodge-theorie.
De Fields-medaille
Tijdens de uitreiking van de eerste naoorlogse Fields-medaille behoorde Hodge tot de commissieleden die het sterkst bepleitten om de prijs aan Weil toe te kennen, waarbij hij waarschuwde dat ze anders "hun plicht zouden verzaken". Zijn inspanningen waren uiteindelijk niet succesvol. Misschien om toekomstige commissies te behoeden voor hetzelfde dilemma, kreeg de Fields-medaille later de bekende leeftijdsgrens van veertig jaar.
Op het Internationaal Congres van Wiskundigen (ICM) waar de prijzen werden uitgereikt, gaf Weil een plenaire lezing waarin hij een verenigd perspectief presenteerde op getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Hiermee vatte hij veel samen en anticipeerde hij op ontwikkelingen in de algebraïsche meetkunde van de volgende decennia. Vijf dagen later presenteerde Hodge in een andere lezing de oorspronkelijke versie van het Hodge-vermoeden.
De vroege visie op het vermoeden
Het vroege Hodge-vermoeden leek een natuurlijke extrapolatie van het (1,1)-theorema van Lefschetz, waardoor er aanvankelijk weinig redenen waren om eraan te twijfelen. Lefschetz had het geval $(p=1)$ al opgelost, en alle Hodge-klassen van graad 2 komen voort uit divisoren. Als de gehele Hodge-ring van een variëteit dus gegenereerd zou worden door Hodge-klassen van graad 2, zou het Hodge-vermoeden automatisch volgen.
In de jaren zestig probeerden Mumford en Tate precies deze route te volgen. Helaas vond Mumford een tegenvoorbeeld dat deze aanpak blokkeerde: de zogenaamde uitzonderlijke Hodge-klassen. Het voorbeeld betreft een abelse vier-variëteit van CM-type ($A$) die Hodge-klassen van type $(2,2)$ bezit die niet geschreven kunnen worden als producten van divisoren.
De constructie van de Weil-klassen
Wat daarna gebeurde, is bekend uit een brief die Tate aan Serre schreef. In 1965 vertelde Tate Weil over dit tegenvoorbeeld. Weil realiseerde zich snel dat dit voorbeeld in wezen slechts een specifiek geval was van een vierdimensionale familie van voorbeelden.
Hij overwoog vervolgens een klasse van speciale abelse variëteiten met een aanvullende symmetrie van een imaginair kwadratisch lichaam. Deze symmetrie verdeelt de complexe richtingen gelijkmatig in twee groepen. Door het product van deze richtingen over het imaginair kwadratisch lichaam te nemen, ontstaat een tweedimensionale rationele cohomologie-onderruimte. Het feit dat de twee groepen even groot zijn, zorgt ervoor dat deze ruimte van type $(n,n)$ is, en dus een tweedimensionale Hodge-klassenruimte is: dit werden later de Weil-klassen genoemd.
Deze Weil-klassen ontstaan automatisch uit symmetrie en lineair-algebraïsche structuur, zonder dat men vooraf kennis hoeft te hebben van een corresponderende algebraïsche subvariëteit. Weil begon daarom aan het vermoeden te twijfelen: als deze klassen op deze manier automatisch door symmetrie gegenereerd kunnen worden, waarom zouden ze dan noodzakelijkerwijs corresponderen met echte algebraïsche cycli? Als zelfs één Weil-klasse niet zou corresponderen met een algebraïsche cyclus, zou het Hodge-vermoeden worden weerlegd. Op deze manier generaliseerde Weil een tegenvoorbeeld voor één mogelijke bewijsstrategie tot een mogelijk tegenvoorbeeld voor het vermoeden zelf.
Weil zei daarop tegen Tate:
"Aangezien jij en Mumford het Hodge-vermoeden lijken te geloven, is het nu aan jullie om algebraïsche cycli te vertonen die corresponderen met deze abnormale klassen. Omdat ik geneigd ben het niet te geloven, zal ik eerder proberen aan te tonen dat er geen dergelijke cyclus bestaat."
Weil begon vervolgens met het construeren van een tegenvoorbeeld. Deze pogingen waren niet succesvol; anders zou het vermoeden later niet tot een van de Millennium Prize Problems zijn geworden.
De methodiek van Weil
Dit proces leek sterk op het werk van Weil aan de Mordell/Riemann-vermoedens, en zelfs aan de Fermat- en Langlands-vermoedens. Wanneer hij geconfronteerd werd met deze grote vermoedens, kon hij ofwel een initiële doorbraak forceren die niemand in een eeuw had bereikt, ofwel onmiddellijk het belang van een vermoeden (of een specifieke route naar de oplossing) herkennen voor de toekomstige ontwikkeling van de wiskunde, en daarmee helpen de koers van het vakgebied als geheel te bepalen. Hoewel hij uiteindelijk meestal niet de definitieve oplosser van deze problemen was, is Weil wellicht precies het type wiskundige dat in het AI-tijdperk het meest nodig is.
Interactie met Gross en Deligne
Volgens de herinneringen van Benedict Gross besprak Weil ongeveer tien jaar later, tijdens een conferentie ter ere van de zeventigste verjaardag van Ahlfors, nog steeds op een provocerende manier hoe men het Hodge-vermoeden zou kunnen aanvallen.
Gross, die toen nog aan het begin van zijn carrière stond, zat in het publiek en probeerde de ideeën van Weil aan te passen om een periode-identiteit te bewijzen die gerelateerd was aan de Chowla-Selberg-formule. Al snel werkte hij dit argument uit tot een artikel. Tijdens dezelfde conferentie introduceerde Serre hem aan Deligne, waarna Gross dit resultaat, verkregen door de ideeën van Weil aan te passen, uitlegde.
Deligne was versteld en vroeg aan Gross: "Heb je het Hodge-vermoeden bewezen?" Gross antwoordde vrolijk dat hij daar zeker blij mee zou zijn als dat echt het geval was. Hij was nog op zoek naar een onderwerp voor zijn PhD-thesis, en het bewijzen van het Hodge-vermoeden zou vermoedelijk voldoende zijn voor een proefschrift.
Een paar weken later stuurde Deligne Gross een manuscript van drie pagina's. Dat manuscript ontwikkelde zich uiteindelijk tot het beroemde resultaat dat alle Hodge-cycli op abelse variëteiten absoluut Hodge zijn.
Conclusie en reflectie
Toen Milne deze geschiedenis besprak, merkte hij op dat abelse variëteiten, in relatie tot de twijfels van Weil, oorspronkelijk als een van de makkelijkere gevallen van het Hodge-vermoeden hadden moeten tellen. Toch kon de wiskundige gemeenschap na vijftig jaar nog steeds niet bewijzen dat deze Weil-Hodge-klassen algebraïsch zijn. Dit heeft overduidelijk veel bijgedragen aan het verzwakken van het vertrouwen van wiskundigen in het Hodge-vermoeden.
Wat betreft de mogelijkheid dat OpenAI een tegenvoorbeeld voor het Hodge-vermoeden heeft geconstrueerd, zijn de woorden van Weil zelf wellicht bijzonder toepasselijk:
“La question que pose la ‘conjecture de Hodge’ est bien naturelle… Par malheur, en d´epit du mot de ‘conjecture’, il n’y a, que je sache, pas l’ombre d’une raison d’y croire; on rendrait service aux g´eom`etres si l’on pouvait trancher la question au moyen d’un contre-exemple.”
(De vraag die het 'Hodge-vermoeden' stelt is zeer natuurlijk... Helaas is er, ondanks het woord 'vermoeden', voor zover ik weet, geen geringste reden om erin te geloven; men zou geometristen een dienst bewijzen als de kwestie beslecht zou kunnen worden middels een tegenvoorbeeld.)
Groetjes,